Teorem o dijeljenju polinoma

verzija: SageMath 9.4

In [1]:
%display latex

Teorem

Neka je $\mathbb{F}$  polje, a $f(x), g(x)\in\mathbb{F}[x]$ pri čemu je $g(x)$ različit od nulpolinoma. Tada postoje jedinstveni polinomi $q(x), r(x)\in\mathbb{F}[x]$ takvi da je $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$ i $\deg{r(x)}<\deg{g(x)}.$

Polinomi s racionalnim koeficijentima

Definiranje prstena $\mathbb{Q}[x]$

In [2]:
R.<x>=PolynomialRing(QQ)
In [3]:
R
Out[3]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\Bold{Q}[x]\]

Dva polinoma iz $\mathbb{Q}[x]$

In [4]:
f=x^3+1
g=x^2+x+1

Kvocijent pri dijeljenju polinoma $f$ s polinomom $g$

In [5]:
f//g
Out[5]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x - 1\]

Ostatak pri dijeljenju polinoma $f$ s polinomom $g$

In [6]:
f%g
Out[6]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2\]

Napomena. Uočite da SAGE obavlja računske operacije iz polja $\mathbb{Q}.$

Polinomi s koeficijentima iz polja $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$

Definiranje prstena $\mathbb{F}_2[x]$

In [7]:
R.<x>=PolynomialRing(GF(2))
In [8]:
R
Out[8]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\Bold{F}_{2}[x]\]

Dva polinoma iz $\mathbb{F}_2[x]$

In [9]:
f=x^3+1
g=x^2+x+1

Kvocijent pri dijeljenju polinoma $f$ s polinomom $g$

In [10]:
f//g
Out[10]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x + 1\]

Ostatak pri dijeljenju polinoma $f$ s polinomom $g$

In [11]:
f%g
Out[11]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0\]

Napomena. Uočite da  SAGE obavlja računske operacije iz polja $\mathbb {F}_2.$

Polinomi s koeficijentima iz polja $\mathbb{F}_3=\{0,1,2\}$

Definiranje prstena $\mathbb{F}_3[x]$

In [12]:
R.<x>=PolynomialRing(GF(3))
In [13]:
R
Out[13]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\Bold{F}_{3}[x]\]

Dva polinoma iz $\mathbb{F}_3[x]$

In [14]:
f=x^3+1
g=x^2+x+1

Kvocijent pri dijeljenju polinoma $f$ s polinomom $g$

In [15]:
f//g
Out[15]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x + 2\]

Ostatak pri dijeljenju polinoma $f$ s polinomom $g$

In [16]:
f%g
Out[16]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2\]

Napomena. Uočite da SAGE obavlja računske operacije iz polja $\mathbb{F}_3.$

Polinomi s koeficijentima iz polja $\mathbb{F}_5=\{0,1,2,3,4\}$

Definiranje prstena $\mathbb{F}_5[x]$

In [17]:
R.<x>=PolynomialRing(GF(5))
In [18]:
R
Out[18]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\Bold{F}_{5}[x]\]

Dva polinoma iz $\mathbb{F}_5[x]$

In [19]:
f=x^3+1
g=x^2+x+1

Kvocijent pri dijeljenju polinoma $f$ s polinomom $g$

In [20]:
f//g
Out[20]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x + 4\]

Ostatak pri dijeljenju polinoma $f$ s polinomom $g$

In [21]:
f%g
Out[21]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2\]

Napomena. Uočite da SAGE obavlja računske operacije iz polja $\mathbb{F}_5.$

Polinomi s koeficijentima iz prstena $\mathbb{Z}$

Definiranje prstena $\mathbb{Z}[x]$

In [22]:
R.<x>=PolynomialRing(ZZ)

Dva polinoma iz $\mathbb{Z}[x]$

In [23]:
f=x^3+1
g=5*x^2+x-2

Za polinome nad prstenom općenito ne vrijedi teorem o dijeljenju polinoma. Uočite da stupanj ostatka nije strogo manji od stupnja polinoma s kojim se dijeli.

In [24]:
f//g
Out[24]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0\]
In [25]:
f%g
Out[25]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x^{3} + 1\]

Za polinome nad prstenom vrijedi teorem o dijeljenju polinoma ukoliko polinom s kojim dijelimo ima invertibilni vodeći koeficijent u promatranom prstenu.

In [26]:
f=x^3+1
g=x^2+x-2
In [27]:
f//g
Out[27]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x - 1\]

U ovom slučaju je stupanj ostatka strogo manji od stupnja polinoma $g$ s kojim smo dijelili.

In [28]:
f%g
Out[28]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}3x - 1\]
In [ ]: