Uvjetni ekstremi

verzija: SageMath 9.4

In [1]:
from sage.plot.plot3d.shapes import *
In [2]:
%display latex
In [3]:
var('u y z')
Out[3]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(u, y, z\right)\]

1. zadatak

Odredite ekstreme funkcije $f(x,y)=2x-3y+7$ uz uvjet $x^2+y^2=1.$

Rješenje

In [4]:
f(x,y)=2*x-3*y+7

Lagrangeova funkcija

In [5]:
L(x,y,t)=f(x,y)+t*(x^2+y^2-1)

Gradijent Lagrangeove funkcije

In [6]:
grad_L=L.diff(); grad_L
Out[6]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ \left(2 \, t x + 2,\,2 \, t y - 3,\,x^{2} + y^{2} - 1\right)\]

Stacionarne točke: $\big(\!-\!\frac{2}{13}\sqrt{13},\frac{3}{13}\sqrt{13},\frac{1}{2}\sqrt{13}\big),\ \big(\frac{2}{13}\sqrt{13},-\frac{3}{13}\sqrt{13},-\frac{1}{2}\sqrt{13}\big)$

In [7]:
solve([grad_L[0]==0,grad_L[1]==0,grad_L[2]==0],[x,y,t])
Out[7]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x = -\frac{2}{13} \, \sqrt{13}, y = \frac{3}{13} \, \sqrt{13}, t = \frac{1}{2} \, \sqrt{13}\right], \left[x = \frac{2}{13} \, \sqrt{13}, y = -\frac{3}{13} \, \sqrt{13}, t = -\frac{1}{2} \, \sqrt{13}\right]\right]\]

Kako je uvjet $x^2+y^2=1$ kružnica koja je kompaktni skup u $\mathbb{R}^2$, funkcija $f$ postiže globalni minimum i globalni maksimum uz zadani uvjet.

U točki $\big(\!-\!\frac{2}{13}\sqrt{13},\frac{3}{13}\sqrt{13}\big)$ funkcija $f$ postiže uvjetni globalni minimum koji iznosi $-\sqrt{13}+7.$

In [8]:
f(-2/13*sqrt(13),3/13*sqrt(13))
Out[8]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\sqrt{13} + 7\]

U točki $\big(\frac{2}{13}\sqrt{13},-\frac{3}{13}\sqrt{13}\big)$ funkcija $f$ postiže uvjetni globalni maksimum koji iznosi $\sqrt{13}+7.$

In [9]:
f(2/13*sqrt(13),-3/13*sqrt(13))
Out[9]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\sqrt{13} + 7\]

Graf funkcije $f$ je ravnina. Uvjet $x^2+y^2=1$ predstavlja plavu kružnicu u domeni funkcije $f$. Kada se šećemo po plavoj kružnici u domeni, tada se na grafu funkcije $f$ šećemo po crvenoj krivulji. Na plavoj kružnici funkcija $f$ postiže globalne ekstreme u žutim točkama, a pripadne bijele točke na grafu su točke na najvećoj i najmanjoj visini na crvenoj krivulji.

In [10]:
cm1 = colormaps.coolwarm
def c1(x,y): return sin(0.1*(x^2+y^2))+0.4
graf1=plot3d(f(x,y),(x,-1.5,1.5),(y,-1.5,1.5),color=(c1,cm1),opacity=0.9)
kruznica=parametric_plot3d([cos(u),sin(u),-0.5],(u,0,2*pi),color='blue',radius=0.02)
elipsa=parametric_plot3d([cos(u),sin(u),2*cos(u)-3*sin(u)+7],(u,0,2*pi),color='red',radius=0.02)
toc1=Sphere(0.1,color='seashell').scale(0.5,0.5,3.2).translate(-2/13*sqrt(13),3/13*sqrt(13),7-sqrt(13))
toc2=Sphere(0.1,color='seashell').scale(0.5,0.5,3.2).translate(2/13*sqrt(13),-3/13*sqrt(13),7+sqrt(13))
toc3=Sphere(0.1,color='yellow').scale(0.5,0.5,3.2).translate(-2/13*sqrt(13),3/13*sqrt(13),-0.5)
toc4=Sphere(0.1,color='yellow').scale(0.5,0.5,3.2).translate(2/13*sqrt(13),-3/13*sqrt(13),-0.5)
pravac1=line3d([(-2/13*sqrt(13),3/13*sqrt(13),-0.5),(-2/13*sqrt(13),3/13*sqrt(13),7-sqrt(13))],color='black',radius=0.01)
pravac2=line3d([(2/13*sqrt(13),-3/13*sqrt(13),-0.5),(2/13*sqrt(13),-3/13*sqrt(13),7+sqrt(13))],color='black',radius=0.01)
(graf1+kruznica+elipsa+toc1+toc2+toc3+toc4+pravac1+pravac2).show(viewer='threejs',online=True,aspect_ratio=[4,4,1])

2. zadatak

Odredite lokalne ekstreme funkcije $f(x,y)=2x+3y$ uz uvjet $xy=2.$

Rješenje

In [11]:
f(x,y)=2*x+3*y
g(x,y)=x*y-2

Lagrangeova funkcija

In [12]:
L(x,y,t)=f(x,y)+t*g(x,y)

Gradijent Lagrangeove funkcije

In [13]:
grad_L=L.diff(); grad_L
Out[13]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ \left(t y + 2,\,t x + 3,\,x y - 2\right)\]

Stacionarne točke: $\big(\sqrt{3},\frac{2}{3}\sqrt{3},-\sqrt{3}\big),\ \big(\!-\!\sqrt{3},-\frac{2}{3}\sqrt{3},\sqrt{3}\big)$

In [14]:
solve([grad_L[0]==0,grad_L[1]==0,grad_L[2]==0],[x,y,t])
Out[14]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x = \sqrt{3}, y = \frac{2}{3} \, \sqrt{3}, t = -\sqrt{3}\right], \left[x = -\sqrt{3}, y = -\frac{2}{3} \, \sqrt{3}, t = \sqrt{3}\right]\right]\]

Ispitivanje stacionarnih točaka

In [15]:
hess_L=L.diff(2); hess_L
Out[15]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ 0 & \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ t & \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ y \\ \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ t & \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ 0 & \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ x \\ \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ y & \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ x & \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ 0 \end{array}\right)\]

U točki $\big(\sqrt{3},\frac{2}{3}\sqrt{3}\big)$ funkcija $f$ postiže uvjetni lokalni minimum koji iznosi $4\sqrt{3}.$

In [16]:
M1=hess_L(sqrt(3),2/3*sqrt(3),-sqrt(3)); M1
Out[16]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} 0 & -\sqrt{3} & \frac{2}{3} \, \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 0 & \sqrt{3} \\ \frac{2}{3} \, \sqrt{3} & \sqrt{3} & 0 \end{array}\right)\]
In [17]:
M1.det()
Out[17]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-4 \, \sqrt{3}\]
In [18]:
f(sqrt(3),2/3*sqrt(3))
Out[18]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}4 \, \sqrt{3}\]

U točki $\big(\!-\!\sqrt{3},-\frac{2}{3}\sqrt{3}\big)$ funkcija $f$ postiže uvjetni lokalni maksimum koji iznosi $-4\sqrt{3}.$

In [19]:
M2=hess_L(-sqrt(3),-2/3*sqrt(3),sqrt(3)); M2
Out[19]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} 0 & \sqrt{3} & -\frac{2}{3} \, \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 0 & -\sqrt{3} \\ -\frac{2}{3} \, \sqrt{3} & -\sqrt{3} & 0 \end{array}\right)\]
In [20]:
M2.det()
Out[20]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}4 \, \sqrt{3}\]
In [21]:
f(-sqrt(3),-2/3*sqrt(3))
Out[21]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-4 \, \sqrt{3}\]

Graf funkcije $f$ je ravnina. Uvjet $xy=2$ predstavlja plavu hiperbolu u domeni funkcije $f$. Kada se šećemo po plavoj hiperboli u domeni, tada se na grafu funkcije $f$ šećemo po crvenoj krivulji. Na plavoj hiperboli funkcija $f$ postiže lokalne ekstreme u žutim točkama, a pripadne bijele točke na grafu su samo lokalno na najvećoj i najmanjoj visini na crvenoj krivulji. Dobiveni uvjetni ekstremi su samo lokalnog karaktera.

In [22]:
cm2 = colormaps.coolwarm
def c2(x,y): return sin(0.005*(x^2+y^2))+0.3
graf2=plot3d(f(x,y),(x,-8,8),(y,-8,8),color=(c2,cm2),opacity=0.9)
kriv1=parametric_plot3d([u,2/u,-40],(u,0.25,8),color='blue',radius=0.1)
kriv2=parametric_plot3d([u,2/u,-40],(u,-8,-0.25),color='blue',radius=0.1)
kriv3=parametric_plot3d([u,2/u,2*u+6/u],(u,0.25,8),color='red',radius=0.1)
kriv4=parametric_plot3d([u,2/u,2*u+6/u],(u,-8,-0.25),color='red',radius=0.1)
p1=Sphere(0.3,color='seashell').scale(1,1,5).translate(sqrt(3),2/3*sqrt(3),4*sqrt(3))
p2=Sphere(0.3,color='seashell').scale(1,1,5).translate(-sqrt(3),-2/3*sqrt(3),-4*sqrt(3))
p3=Sphere(0.3,color='yellow').scale(1,1,5).translate(sqrt(3),2/3*sqrt(3),-40)
p4=Sphere(0.3,color='yellow').scale(1,1,5).translate(-sqrt(3),-2/3*sqrt(3),-40)
prav1=line3d([(-sqrt(3),-2/3*sqrt(3),-40),(-sqrt(3),-2/3*sqrt(3),-4*sqrt(3))],color='black',radius=0.05)
prav2=line3d([(sqrt(3),2/3*sqrt(3),-40),(sqrt(3),2/3*sqrt(3),4*sqrt(3))],color='black',radius=0.05)
(graf2+kriv1+kriv2+kriv3+kriv4+p1+p2+p3+p4+prav1+prav2).show(viewer='threejs',online=True,aspect_ratio=[4,4,1])

Napomena

Možemo zadatak riješiti bez upotrebe Langrangeove funkcije jer je uvjet $xy=2$ jednostavan pa možemo jednu varijablu izraziti pomoću druge i uvrstiti u funkciju $f$. Iz $xy=2$ slijedi $y=\frac{2}{x}$ pa uvrštavanjem u funkciju $f$ dobivamo $f\big(x,\frac{2}{x}\big)=2x+\frac{6}{x}.$ Dobivamo funkciju jedne varijable $h(x)=2x+\frac{6}{x}$ na koju lagano primijenimo postupak za traženje ekstrema realne funkcije jedne realne varijable.

In [23]:
h(x)=f(x,2/x) 
h(x)
Out[23]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2 \, x + \frac{6}{x}\]

Derivacija funkcije $h$

In [24]:
der_h=h.diff(); der_h
Out[24]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ -\frac{6}{x^{2}} + 2\]

Stacionarne točke funkcije $h$: $\sqrt{3},\, -\sqrt{3}$

In [25]:
solve(der_h==0,x)
Out[25]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x = -\sqrt{3}, x = \sqrt{3}\right]\]

Druga derivacija funkcije $h$

In [26]:
der2_h=h.diff(2); der2_h
Out[26]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{12}{x^{3}}\]

Funkcija $h$ u točki $x=\sqrt{3}$ ima lokalni minimum koji iznosi $4\sqrt{3}.$ Kako je $y=\frac{2}{x}$, slijedi da je $y=\frac{2}{3}\sqrt{3}$ pa funkcija $f$ u točki $\big(\sqrt{3},\frac{2}{3}\sqrt{3}\big)$ postiže uvjetni lokalni minimum koji iznosi $4\sqrt{3}.$

In [27]:
der2_h(sqrt(3))
Out[27]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{4}{3} \, \sqrt{3}\]
In [28]:
h(sqrt(3))
Out[28]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}4 \, \sqrt{3}\]
In [29]:
2/sqrt(3)
Out[29]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{2}{3} \, \sqrt{3}\]

Funkcija $h$ u točki $x=-\sqrt{3}$ ima lokalni maksimum koji iznosi $-4\sqrt{3}.$ Kako je $y=\frac{2}{x}$, slijedi da je $y=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$ pa funkcija $f$ u točki $\big(\!-\!\sqrt{3},-\frac{2}{3}\sqrt{3}\big)$ postiže uvjetni lokalni maksimum koji iznosi $-4\sqrt{3}.$

In [30]:
der2_h(-sqrt(3))
Out[30]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{4}{3} \, \sqrt{3}\]
In [31]:
h(-sqrt(3))
Out[31]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-4 \, \sqrt{3}\]
In [32]:
2/(-sqrt(3))
Out[32]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{2}{3} \, \sqrt{3}\]

3. zadatak

Odredite ekstreme funkcije $f(x,y)=e^{xy}$ uz uvjet $x+y=4.$

Rješenje

In [33]:
f(x,y)=e^(x*y)
g(x,y)=x+y-4

Lagrangeova funkcija

In [34]:
L(x,y,t)=f(x,y)+t*g(x,y)

Gradijent Lagrangeove funkcije

In [35]:
grad_L=L.diff(); grad_L
Out[35]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ \left(y e^{\left(x y\right)} + t,\,x e^{\left(x y\right)} + t,\,x + y - 4\right)\]

Stacionarne točke: $\big(2,2,-2e^4\big)$

In [36]:
solve([grad_L[0]==0,grad_L[1]==0,grad_L[2]==0],[x,y,t])
Out[36]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x = 2, y = 2, t = -2 \, e^{4}\right]\right]\]

Ispitivanje stacionarnih točaka

In [37]:
hess_L=L.diff(2).apply_map(lambda a:a.factor()); hess_L
Out[37]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ y^{2} e^{\left(x y\right)} & \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ {\left(x y + 1\right)} e^{\left(x y\right)} & \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ 1 \\ \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ {\left(x y + 1\right)} e^{\left(x y\right)} & \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ x^{2} e^{\left(x y\right)} & \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ 1 \\ \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ 1 & \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ 1 & \left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ 0 \end{array}\right)\]

U točki $(2,2)$ funkcija $f$ postiže uvjetni lokalni maksimum koji iznosi $e^4.$ U ovom slučaju je to ujedno u uvjetni globalni maksimum.

In [38]:
M=hess_L(2,2,-2*e^4); M
Out[38]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} 4 \, e^{4} & 5 \, e^{4} & 1 \\ 5 \, e^{4} & 4 \, e^{4} & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)\]
In [39]:
M.det()
Out[39]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2 \, e^{4}\]
In [40]:
f(2,2)
Out[40]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}e^{4}\]

Graf funkcije $f$ je ploha prikazana na slici. Uvjet $x+y=4$ predstavlja plavi pravac u domeni funkcije $f$. Kada se šećemo po plavom pravcu u domeni, tada se na grafu funkcije $f$ šećemo po crvenoj krivulji. Na plavom pravcu funkcija $f$ postiže globalni maksimum u žutoj točki, a pripadna bijela točka na grafu je točka na najvećoj visini na crvenoj krivulji.

In [41]:
graf3=implicit_plot3d(e^(x*y)-z,(x,-5,5),(y,-5,5),(z,-5,70),color='moccasin')
kriv1=parametric_plot3d([u,4-u,-5],(u,-1,5),color='blue',radius=0.1)
kriv2=parametric_plot3d([u,4-u,e^(u*(4-u))],(u,-1,5),color='red',radius=0.1)
q1=Sphere(0.2,color='seashell').scale(1,1,8).translate(2,2,e^4)
q2=Sphere(0.2,color='yellow').scale(1,1,8).translate(2,2,-5)
pr=line3d([(2,2,-5),(2,2,e^4)],color='black',radius=0.03)
(graf3+kriv1+kriv2+q1+q2+pr).show(viewer='threejs',online=True,aspect_ratio=[4,4,1])

Napomena

Možemo zadatak riješiti bez upotrebe Langrangeove funkcije jer je uvjet $x+y=4$ jednostavan pa možemo jednu varijablu izraziti pomoću druge i uvrstiti u funkciju $f$. Iz $x+y=4$ slijedi $y=4-x$ pa uvrštavanjem u funkciju $f$ dobivamo $f\big(x,4-x\big)=e^{4x-x^2}.$ Dobivamo funkciju jedne varijable $h(x)=e^{4x-x^2}$ na koju lagano primijenimo postupak za traženje ekstrema realne funkcije jedne realne varijable.

In [42]:
h(x)=f(x,4-x).expand() 
h(x)
Out[42]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}e^{\left(-x^{2} + 4 \, x\right)}\]

Derivacija funkcije $h$

In [43]:
der_h=h.diff(); der_h
Out[43]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ -2 \, {\left(x - 2\right)} e^{\left(-x^{2} + 4 \, x\right)}\]

Stacionarna točka funkcije $h$: $x=2$

In [44]:
solve(der_h==0,x)
Out[44]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x = 2\right]\]

Druga derivacija funkcije $h$

In [45]:
der2_h=h.diff(2).factor(); der2_h
Out[45]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2 \, {\left(2 \, x^{2} - 8 \, x + 7\right)} e^{\left(-x^{2} + 4 \, x\right)}\]

Funkcija $h$ u točki $x=2$ ima globalni maksimum koji iznosi $e^4.$ Kako je $y=4-x$, slijedi da je $y=2$ pa funkcija $f$ u točki $(2,2)$ postiže uvjetni globalni maksimum koji iznosi $e^4.$

In [46]:
der2_h(x=2)
Out[46]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-2 \, e^{4}\]
In [47]:
h(2)
Out[47]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}e^{4}\]

4. zadatak

Odredite ekstreme funkcije $f(x,y)=x^2+y^2$ uz uvjet $x^4+7x^2y^2+y^4=1.$

Rješenje

In [48]:
f(x,y)=x^2+y^2
g(x,y)=x^4+7*x^2*y^2+y^4-1

Lagrangeova funkcija

In [49]:
L(x,y,t)=f(x,y)+t*g(x,y)

Gradijent Lagrangeove funkcije

In [50]:
grad_L=L.diff().apply_map(lambda t:t.expand()); grad_L
Out[50]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y, t \right) \ {\mapsto} \ \left(4 \, t x^{3} + 14 \, t x y^{2} + 2 \, x,\,14 \, t x^{2} y + 4 \, t y^{3} + 2 \, y,\,x^{4} + 7 \, x^{2} y^{2} + y^{4} - 1\right)\]

Stacionarne točke:

$\big(\!-\!1,0,-\frac{1}{2}\big),\,$ $\big(1,0,-\frac{1}{2}\big),\,$ $\,\big(0,-1,-\frac{1}{2}\big),\,\big(0,1,-\frac{1}{2}\big),\,$ $\Big(\!-\!\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{1}{3}\Big),\,$ $\Big(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{1}{3}\Big),\,$ $\Big(\!-\!\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{1}{3}\Big),\,$ $\Big(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{1}{3}\Big)$

In [51]:
rj=solve([grad_L[0]==0,grad_L[1]==0,grad_L[2]==0],[x,y,t]); rj
Out[51]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x = i, y = 0, t = \left(\frac{1}{2}\right)\right], \left[x = \left(-i\right), y = 0, t = \left(\frac{1}{2}\right)\right], \left[x = \left(-1\right), y = 0, t = \left(-\frac{1}{2}\right)\right], \left[x = 1, y = 0, t = \left(-\frac{1}{2}\right)\right], \left[x = 0, y = i, t = \left(\frac{1}{2}\right)\right], \left[x = 0, y = \left(-i\right), t = \left(\frac{1}{2}\right)\right], \left[x = 0, y = \left(-1\right), t = \left(-\frac{1}{2}\right)\right], \left[x = 0, y = 1, t = \left(-\frac{1}{2}\right)\right], \left[x = -\frac{1}{3} i \, \sqrt{3}, y = \frac{1}{3} i \, \sqrt{3}, t = \left(\frac{1}{3}\right)\right], \left[x = \frac{1}{3} i \, \sqrt{3}, y = \frac{1}{3} i \, \sqrt{3}, t = \left(\frac{1}{3}\right)\right], \left[x = -\frac{1}{3} i \, \sqrt{3}, y = -\frac{1}{3} i \, \sqrt{3}, t = \left(\frac{1}{3}\right)\right], \left[x = \frac{1}{3} i \, \sqrt{3}, y = -\frac{1}{3} i \, \sqrt{3}, t = \left(\frac{1}{3}\right)\right], \left[x = -\frac{1}{3} \, \sqrt{3}, y = \frac{1}{3} \, \sqrt{3}, t = \left(-\frac{1}{3}\right)\right], \left[x = \frac{1}{3} \, \sqrt{3}, y = \frac{1}{3} \, \sqrt{3}, t = \left(-\frac{1}{3}\right)\right], \left[x = -\frac{1}{3} \, \sqrt{3}, y = -\frac{1}{3} \, \sqrt{3}, t = \left(-\frac{1}{3}\right)\right], \left[x = \frac{1}{3} \, \sqrt{3}, y = -\frac{1}{3} \, \sqrt{3}, t = \left(-\frac{1}{3}\right)\right]\right]\]

Izdvojimo samo realna rješenja

In [52]:
list(filter(lambda a: a[0].rhs().imag()==0 and a[1].rhs().imag()==0 and a[2].rhs().imag()==0, rj))
Out[52]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x = \left(-1\right), y = 0, t = \left(-\frac{1}{2}\right)\right], \left[x = 1, y = 0, t = \left(-\frac{1}{2}\right)\right], \left[x = 0, y = \left(-1\right), t = \left(-\frac{1}{2}\right)\right], \left[x = 0, y = 1, t = \left(-\frac{1}{2}\right)\right], \left[x = -\frac{1}{3} \, \sqrt{3}, y = \frac{1}{3} \, \sqrt{3}, t = \left(-\frac{1}{3}\right)\right], \left[x = \frac{1}{3} \, \sqrt{3}, y = \frac{1}{3} \, \sqrt{3}, t = \left(-\frac{1}{3}\right)\right], \left[x = -\frac{1}{3} \, \sqrt{3}, y = -\frac{1}{3} \, \sqrt{3}, t = \left(-\frac{1}{3}\right)\right], \left[x = \frac{1}{3} \, \sqrt{3}, y = -\frac{1}{3} \, \sqrt{3}, t = \left(-\frac{1}{3}\right)\right]\right]\]

Kako je uvjet $x^4+7x^2y^2+y^4=1$ kompaktni skup u $\mathbb{R}^2$, funkcija $f$ postiže globalni minimum i globalni maksimum uz zadani uvjet.

U točkama $(1,0),$ $(-1,0),$ $(0,1)$ i $(0,-1)$ funkcija $f$ postiže uvjetne globalne maksimume koji iznose $1.$

In [53]:
f(1,0), f(-1,0), f(0,1), f(0,-1)
Out[53]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(1, 1, 1, 1\right)\]

U točkama $\Big(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\Big),$ $\Big(\!-\!\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\Big),$ $\Big(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\Big)$ i $\Big(\!-\!\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\Big)$ funkcija $f$ postiže uvjetne globalne minimumu koji iznose $\frac{2}{3}.$

In [54]:
f(sqrt(3)/3,sqrt(3)/3), f(-sqrt(3)/3,sqrt(3)/3), f(sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3), f(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3)
Out[54]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\]

Graf funkcije $f$ je ploha prikazana na slici. Uvjet $x^4+7x^2y^2+y^4=1$ predstavlja plavu krivulju u domeni funkcije $f$. Kada se šećemo po plavoj krivulji u domeni, tada se na grafu funkcije $f$ šećemo po crvenoj krivulji.

Na plavoj krivulji funkcija $f$ postiže globalne maksimume u žutim točkama, a pripadne svjetloplave točke na grafu su točke na najvećoj visini na crvenoj krivulji.

Na plavoj krivulji funkcija $f$ postiže globalne minimume u rozim točkama, a pripadne zelene točke na grafu su točke na najmanjoj visini na crvenoj krivulji.

In [55]:
u1=sqrt(1/3*cosh(u)+1/sqrt(5)*sinh(u))
u2=sqrt(1/3*cosh(u)-1/sqrt(5)*sinh(u))
graf4=implicit_plot3d(x^2+y^2-z,(x,-1.5,1.5),(y,-1.5,1.5),(z,-0.5,1.7),color='moccasin',opacity=0.9)
kr1=parametric_plot3d([u1,u2,-0.5],(u,-0.962,0.962),color='blue',radius=0.03)
kr2=parametric_plot3d([-u1,u2,-0.5],(u,-0.962,0.962),color='blue',radius=0.03)
kr3=parametric_plot3d([-u1,-u2,-0.5],(u,-0.962,0.962),color='blue',radius=0.03)
kr4=parametric_plot3d([u1,-u2,-0.5],(u,-0.962,0.962),color='blue',radius=0.03)
krp1=parametric_plot3d([u1,u2,u1^2+u2^2],(u,-0.962,0.962),color='red',radius=0.03)
krp2=parametric_plot3d([-u1,u2,u1^2+u2^2],(u,-0.962,0.962),color='red',radius=0.03)
krp3=parametric_plot3d([-u1,-u2,u1^2+u2^2],(u,-0.962,0.962),color='red',radius=0.03)
krp4=parametric_plot3d([u1,-u2,u1^2+u2^2],(u,-0.962,0.962),color='red',radius=0.03)
sf1=Sphere(0.07,color='cyan').translate(-1,0,1)
sf2=Sphere(0.07,color='cyan').translate(1,0,1)
sf3=Sphere(0.07,color='cyan').translate(0,1,1)
sf4=Sphere(0.07,color='cyan').translate(0,-1,1)
sx1=Sphere(0.07,color='yellow').translate(-1,0,-0.5)
sx2=Sphere(0.07,color='yellow').translate(1,0,-0.5)
sx3=Sphere(0.07,color='yellow').translate(0,1,-0.5)
sx4=Sphere(0.07,color='yellow').translate(0,-1,-0.5)
sf5=Sphere(0.07,color='yellowgreen').translate(-sqrt(3)/3,sqrt(3)/3,2/3)
sf6=Sphere(0.07,color='yellowgreen').translate(sqrt(3)/3,sqrt(3)/3,2/3)
sf7=Sphere(0.07,color='yellowgreen').translate(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,2/3)
sf8=Sphere(0.07,color='yellowgreen').translate(sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,2/3)
sx5=Sphere(0.07,color='pink').translate(-sqrt(3)/3,sqrt(3)/3,-0.5)
sx6=Sphere(0.07,color='pink').translate(sqrt(3)/3,sqrt(3)/3,-0.5)
sx7=Sphere(0.07,color='pink').translate(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,-0.5)
sx8=Sphere(0.07,color='pink').translate(sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,-0.5)
(graf4+kr1+kr2+kr3+kr4+krp1+krp2+krp3+krp4+ sf1+sf2+sf3+sf4+
 sx1+sx2+sx3+sx4+sf5+sf6+sf7+sf8+sx5+sx6+sx7+sx8).show(viewer='threejs',online=True)

5. zadatak

Na sferi $x^2+y^2+z^2=4$ pronađite točke koje su najbliže i najdalje od točke $T(3,1,-1).$

Rješenje

Udaljenost bilo koje točke $A(x,y,z)$ od točke $T(3,1,-1)$ računa se po formuli

$$d(x,y,z)=\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2+(z+1)^2}.$$

Funkcija $d$ je relna funkcija tri varijable i tražimo njezine ekstreme uz uvjet $x^2+y^2+z^2=4$ jer nas zanimaju samo točke na zadanoj sferi. Međutim, dovoljno je da pronađemo ekstreme funkcije

$$f(x,y,z)=(x-3)^2+(y-1)^2+(z+1)^2$$

uz uvjet $x^2+y^2+z^2=4$. Funkcija $f$ daje kvadrat udaljenosti točke $A(x,y,z)$ od točke $T(3,1,-1),$ a uz zadani uvjet ekstreme postiže u istim točkama kao i funkcija $d.$

In [56]:
f(x,y,z)=(x-3)^2+(y-1)^2+(z+1)^2
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4

Lagrangeova funkcija

In [57]:
L(x,y,z,t)=f(x,y,z)+t*g(x,y,z)

Gradijent Lagrangeove funkcije

In [58]:
grad_L=L.diff(); grad_L
Out[58]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y, z, t \right) \ {\mapsto} \ \left(2 \, t x + 2 \, x - 6,\,2 \, t y + 2 \, y - 2,\,2 \, t z + 2 \, z + 2,\,x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4\right)\]

Stacionarne točke:

$\Big(\frac{6}{11}\sqrt{11},\,\frac{2}{11}\sqrt{11},\,-\frac{2}{11}\sqrt{11},\,\frac{1}{2}\sqrt{11}-1\Big),\ $ $\Big(\!-\!\frac{6}{11}\sqrt{11},\,-\frac{2}{11}\sqrt{11},\,\frac{2}{11}\sqrt{11},\,-\frac{1}{2}\sqrt{11}-1\Big)$

In [59]:
solve([grad_L[0]==0,grad_L[1]==0,grad_L[2]==0,grad_L[3]==0],[x,y,z,t])
Out[59]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x = -\frac{6}{11} \, \sqrt{11}, y = -\frac{2}{11} \, \sqrt{11}, z = \frac{2}{11} \, \sqrt{11}, t = -\frac{1}{2} \, \sqrt{11} - 1\right], \left[x = \frac{6}{11} \, \sqrt{11}, y = \frac{2}{11} \, \sqrt{11}, z = -\frac{2}{11} \, \sqrt{11}, t = \frac{1}{2} \, \sqrt{11} - 1\right]\right]\]

Kako je sfera $x^2+y^2+z^2=4$ kompaktni skup u $\mathbb{R}^3$, funkcija $f$ postiže globalni minimum i globalni maksimum uz zadani uvjet.

U točki $\Big(\frac{6}{11}\sqrt{11},\,\frac{2}{11}\sqrt{11},\,-\frac{2}{11}\sqrt{11}\Big)$ funkcija $f$ postiže uvjetni globalni minimum koji iznosi $15-4\sqrt{11}.$

In [60]:
f1=f(6/11*sqrt(11),2/11*sqrt(11),-2/11*sqrt(11)).expand()
f1, n(f1)
Out[60]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(-4 \, \sqrt{11} + 15, 1.73350083857840\right)\]

U točki $\Big(\!-\!\frac{6}{11}\sqrt{11},\,-\frac{2}{11}\sqrt{11},\,\frac{2}{11}\sqrt{11}\Big)$ funkcija $f$ postiže uvjetni globalni maksimum koji iznosi $15+4\sqrt{11}.$

In [61]:
f2=f(-6/11*sqrt(11),-2/11*sqrt(11),2/11*sqrt(11)).expand()
f2, n(f2)
Out[61]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(4 \, \sqrt{11} + 15, 28.2664991614216\right)\]

Točka $A\Big(\frac{6}{11}\sqrt{11},\,\frac{2}{11}\sqrt{11},\,-\frac{2}{11}\sqrt{11}\Big)$ je točka na sferi $x^2+y^2+z^2=4$ koja je najbliža zadanoj točki $T(3,1,-1).$ Udaljenost točaka $A$ i $T$ jednaka je $\sqrt{15-4\sqrt{11}}$ što je približno jednako $1.32.$

In [62]:
sqrt(f1), n(sqrt(f1))
Out[62]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\sqrt{-4 \, \sqrt{11} + 15}, 1.31662479035540\right)\]

Točka $B\Big(\!-\!\frac{6}{11}\sqrt{11},\,-\frac{2}{11}\sqrt{11},\,\frac{2}{11}\sqrt{11}\Big)$ je točka na sferi $x^2+y^2+z^2=4$ koja je najudaljenija od zadane točki $T(3,1,-1).$ Udaljenost točaka $B$ i $T$ jednaka je $\sqrt{15+4\sqrt{11}}$ što je približno jednako $5.32.$

In [63]:
sqrt(f2), n(sqrt(f2))
Out[63]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\sqrt{4 \, \sqrt{11} + 15}, 5.31662479035540\right)\]

Na slici je prikazana sfera $x^2+y^2+z^2=4$ i zadana crvena točka $T(3,1,-1).$ Na sferi je prikazana svjetloplava točka koja je najbliža zadanoj crvenoj točki i žuta točka koja je najudaljenija od zadane crvene točke.

Svjetloplava i žuta točka su zapravo točke koje su presjek sfere i pravca koji prolazi zadanom crvenom točkom i središtem sfere.

In [64]:
sfera=implicit_plot3d(x^2+y^2+z^2-4,(x,-2,2),(y,-2,2),(z,-2,2),color='moccasin',opacity=0.6)
pravac=parametric_plot([3*u,u,-u],(u,-0.8,1.1),radius=0.02)
s1=Sphere(0.08,color='red').translate(3,1,-1)
s2=Sphere(0.08,color='cyan').translate(6/11*sqrt(11),2/11*sqrt(11),-2/11*sqrt(11))
s3=Sphere(0.08,color='yellow').translate(-6/11*sqrt(11),-2/11*sqrt(11),2/11*sqrt(11))
s4=Sphere(0.08,color='black')
(sfera+pravac+s1+s2+s3+s4).show(viewer='threejs',online=True)

6. zadatak

Odredite ekstreme funkcije $f(x,y,z)=x+y+z$ uz uvjete $x^2+y^2=2$ i $x+z=1.$

Rješenje

In [65]:
f(x,y,z)=x+y+z
g1(x,y,z)=x^2+y^2-2
g2(x,y,z)=x+z-1

Lagrangeova funkcija

In [66]:
L(x,y,z,t1,t2)=f(x,y,z)+t1*g1(x,y,z)+t2*g2(x,y,z)

Gradijent Lagrangeove funkcije

In [67]:
grad_L=L.diff(); grad_L
Out[67]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y, z, t_{1}, t_{2} \right) \ {\mapsto} \ \left(2 \, t_{1} x + t_{2} + 1,\,2 \, t_{1} y + 1,\,t_{2} + 1,\,x^{2} + y^{2} - 2,\,x + z - 1\right)\]

Stacionarne točke: $\big(0,\sqrt{2},1,-\frac{1}{4}\sqrt{2},-1\big),\ \big(0,-\sqrt{2},1,\frac{1}{4}\sqrt{2},-1\big)$

In [68]:
solve([grad_L[0]==0,grad_L[1]==0,grad_L[2]==0,grad_L[3]==0,grad_L[4]==0],[x,y,z,t1,t2])
Out[68]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x = 0, y = -\sqrt{2}, z = 1, t_{1} = \frac{1}{4} \, \sqrt{2}, t_{2} = \left(-1\right)\right], \left[x = 0, y = \sqrt{2}, z = 1, t_{1} = -\frac{1}{4} \, \sqrt{2}, t_{2} = \left(-1\right)\right]\right]\]

Uvjet $x^2+y^2=2$ je cilindar u prostoru, a uvjet $x+z=1$ je ravnina u prostoru. Presjek ravnine i cilindra je općenito omeđena krivulja, tj. elipsa. Zadani uvjeti predstavljaju elipsu u prostoru, a elipsa je kompaktni skup u $\mathbb{R}^3.$ Stoga funkcija $f$ postiže globalni minimum i globalni maksimum uz zadane uvjete.

Funkcija $f$ uz zadane uvjete postiže globalni maksimum u točki $\big(0,\sqrt{2},1\big)$ koji iznosi $1+\sqrt{2}.$

In [69]:
f(0,sqrt(2),1)
Out[69]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\sqrt{2} + 1\]

Funkcija $f$ uz zadane uvjete postiže globalni minimum u točki $\big(0,-\sqrt{2},1\big)$ koji iznosi $1-\sqrt{2}.$

In [70]:
f(0,-sqrt(2),1)
Out[70]:
\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\sqrt{2} + 1\]

Na slici je prikazan cilindar $x^2+y^2=2,$ ravnina $x+z=1$ i crvena elipsa koja predstavlja njihov presjek. Funkcija $f$ na crvenoj elipsi postiže uvjetni globalni minimum u žutoj točki, a uvjetni globalni maksimum postiže u zelenoj točki. Graf funkcije $f$ je objekt koji živi u $\mathbb{R}^4$ pa nije prikazan na slici. Domena funkcije $f$ je $\mathbb{R}^3,$ a na slici su vizualizirani uvjeti uz koje se traže ekstremi funkcije $f$. Uvjeti su zapravo cilindar i sfera koji u presjeku daju elipsu.

In [71]:
uvjet1=implicit_plot3d(x^2+y^2-2,(x,-2,2),(y,-2,2),(z,-1.5,3),color='moccasin')
uvjet2=implicit_plot3d(x+z-1,(x,-2,2),(y,-2,2),(z,-1.5,3),color='lightskyblue',opacity=0.9)
elipsa=parametric_plot3d([sqrt(2)*cos(u),sqrt(2)*sin(u),1-sqrt(2)*cos(u)],(u,0,2*pi),radius=0.03,color='red')
te1=Sphere(0.09,color='yellow').translate(0,-sqrt(2),1)
te2=Sphere(0.09,color='mediumspringgreen').translate(0,sqrt(2),1)
(uvjet1+uvjet2+elipsa+te1+te2).show(viewer='threejs',online=True)
In [ ]: