Polinomi u pythonu

import platform

platform.platform()

'Linux-5.4.143-1-MANJARO-x86_64-with-glibc2.33'

platform.python_version()

'3.9.6'

Polinomi u numpy modulu

import numpy as np

np.__version__

'1.20.3'

from pylab import *

S polinomima jedne varijable unutar numpy modula najjednostavnije je raditi preko poly1d klase koja olakšava rad s polinomima što se tiče pisanja koda.

$f(x)=x^5-3x^3-5x,\quad g(x)=x^2-x+1$

f=np.poly1d([1,0,-3,0,-5,0])
g=np.poly1d([1,-1,1])

print(f)

   5     3
1 x - 3 x - 5 x

print(g)

   2
1 x - 1 x + 1

Ako želimo neku drugu varijablu kod ispisa, onda to navedemo kod definiranja polinoma.

g1=np.poly1d([1,-1,1],variable='u')

print(g1)

   2
1 u - 1 u + 1

Koeficijenti polinoma

f.c

array([ 1,  0, -3,  0, -5,  0])

g.c

array([ 1, -1,  1])

f[k] je koeficijent uz potenciju $x^k$

f[3]

-3

f[2]

0

g[0]

1

Stupanj polinoma

f.o

5

g.o

2

Računanje vrijednosti polinoma u točki

f(3)

147

g(3)

7

g(3.21)

8.094100000000001

Derivacija polinoma

f.deriv()

poly1d([ 5,  0, -9,  0, -5])

print(f.deriv())

   4     2
5 x - 9 x - 5

g.deriv()

poly1d([ 2, -1])

print(g.deriv())

 
2 x - 1

Derivacije višeg reda

f.deriv(2)

poly1d([ 20,   0, -18,   0])

print(f.deriv(2))

    3
20 x - 18 x

f.deriv(3)

poly1d([ 60,   0, -18])

print(f.deriv(3))

    2
60 x - 18

Integral polinoma

f.integ()

poly1d([ 0.16666667,  0.        , -0.75      ,  0.        , -2.5       ,
        0.        ,  0.        ])

print(f.integ())

        6        4       2
0.1667 x - 0.75 x - 2.5 x

g.integ()

poly1d([ 0.33333333, -0.5       ,  1.        ,  0.        ])

print(g.integ())

        3       2
0.3333 x - 0.5 x + 1 x

Zbrajanje polinoma

f+g

poly1d([ 1,  0, -3,  1, -6,  1])

print(f+g)

   5     3     2
1 x - 3 x + 1 x - 6 x + 1

(f+g)(3)

154

Oduzimanje polinoma

f-g

poly1d([ 1,  0, -3, -1, -4, -1])

print(f-g)

   5     3     2
1 x - 3 x - 1 x - 4 x - 1

Množenje polinoma

f*g

poly1d([ 1, -1, -2,  3, -8,  5, -5,  0])

print(f*g)

   7     6     5     4     3     2
1 x - 1 x - 2 x + 3 x - 8 x + 5 x - 5 x

Potenciranje polinoma

f**3

poly1d([   1,    0,   -9,    0,   12,    0,   63,    0,  -60,    0, -225,
          0, -125,    0,    0,    0])

print(f**3)

   15     13      11      9      7       5       3
1 x  - 9 x  + 12 x  + 63 x - 60 x - 225 x - 125 x

Polinom $f^3g+2f$

H=f**3*g+2*f
H

poly1d([   1,   -1,   -8,    9,    3,  -12,   75,  -63,    3,   60, -285,
        225, -348,  125, -131,    0,  -10,    0])

print(H)

   17     16     15     14     13      12      11      10     9      8
1 x  - 1 x  - 8 x  + 9 x  + 3 x  - 12 x  + 75 x  - 63 x  + 3 x + 60 x
        7       6       5       4       3
 - 285 x + 225 x - 348 x + 125 x - 131 x - 10 x

suma koeficijenata polinoma $f^3g+2f$

H(1)

-357

Dijeljenje polinoma

kvocijent, ostatak = f/g

kvocijent

poly1d([ 1.,  1., -3., -4.])

print(kvocijent)

   3     2
1 x + 1 x - 3 x - 4

ostatak

poly1d([-6.,  4.])

print(ostatak)

 
-6 x + 4

f/g

(poly1d([ 1.,  1., -3., -4.]), poly1d([-6.,  4.]))

Nultočke polinoma

f.r

array([-2.04757965e+00+0.j        ,  2.04757965e+00+0.j        ,
       -1.38777878e-17+1.09205421j, -1.38777878e-17-1.09205421j,
        0.00000000e+00+0.j        ])

g.r

array([0.5+0.8660254j, 0.5-0.8660254j])

Dobivanje samo realnih nultočaka

nul_real = np.extract(f.r.imag == 0, f.r)
nul_real

array([-2.04757965+0.j,  2.04757965+0.j,  0.        +0.j])

Ljepši zapis bez člana 0.j

only_real = lambda x: x.real
vector_real = np.vectorize(only_real)

vector_real(nul_real)

array([-2.04757965,  2.04757965,  0.        ])

1. zadatak

Zadane su točke $(-2,0),(-1,1),(1,2),(2,3.89)$. Odredite polinom najmanjeg stupnja čiji graf prolazi kroz zadane točke.

Rješenje

import scipy.interpolate as scip

xkor=[-2,-1,1,2]
ykor=[0,1,2,3.89]

pol=scip.lagrange(xkor,ykor)
pol

poly1d([0.1575    , 0.14833333, 0.3425    , 1.35166667])

Pazite, u print ispisu neki koeficijenti mogu biti ispisani s manjom preciznošću.

print(pol)

        3          2
0.1575 x + 0.1483 x + 0.3425 x + 1.352

pol.c

array([0.1575    , 0.14833333, 0.3425    , 1.35166667])

slika

xp=np.arange(-2.5,2.5,0.01)
yp=pol(xp)

figure(figsize=(6,5))
grid(True)
plot(xp,yp,'b-',xkor,ykor,'ro',markersize=8,linewidth=2);

2. zadatak

Odredite sve nultočke polinoma $p(x)=-2x^7+3x^6+4x^5-5x^4+x^3+2x^2+8x+12.$

Rješenje

p=np.poly1d([-2,3,4,-5,1,2,8,12])

sve nultočke u polju $\mathbb{C}$

p.r

array([ 2.13930159+0.j        ,  1.0936878 +0.92373329j,
        1.0936878 -0.92373329j, -0.24213151+0.97254029j,
       -0.24213151-0.97254029j, -1.26767181+0.j        ,
       -1.07474237+0.j        ])

samo realne nultočke

nul_real=np.extract(p.r.imag==0, p.r)
nul_real

array([ 2.13930159+0.j, -1.26767181+0.j, -1.07474237+0.j])

ljepši zapis bez člana 0.j

only_real = lambda x: x.real
vector_real = np.vectorize(only_real)

nul_real=vector_real(nul_real)
nul_real

array([ 2.13930159, -1.26767181, -1.07474237])

najveća realna nultočka

max(nul_real)

2.1393015909951143

najmanja realna nultočka

min(nul_real)

-1.267671807727639

slika

x1=np.arange(-1.5,2.2,0.04)
y1=p(x1)

figure(figsize=(7,6))
grid(True)
xlim(-1.6,2.3)
ylim(-15,45)
hlines(0,-1.6,2.3)
vlines(0,-15,45)
plot(x1,y1,'b-',linewidth=2)
plot(nul_real,[0,0,0],c='yellow',marker='h',ls='',ms=7,markeredgecolor='k');

3. zadatak

Razvijte polinom $p(x)=-2x^7+3x^6+4x^5-5x^4+x^3+2x^2+8x+12$ po potencijama od $x+5.$

Rješenje

import math

p=np.poly1d([-2,3,4,-5,1,2,8,12])

S obzirom da imamo dostupnu naredbu za traženje derivacija polinoma, možemo brzo dobiti koeficijente u razvoju koristeći formulu $c_k=\frac{p(k)(a)}{k!}$ pri čemu je $c_k$ koeficijent uz potenciju $(x-a)^k$.

razvoj=[p.deriv(k)(-5)/math.factorial(k) for k in range(p.o+1)]
razvoj

[187397.0, -259937.0, 153612.0, -50149.0, 9770.0, -1136.0, 73.0, -2.0]

Element s indeksom $k$ u dobivenoj listi daje koeficijent $c_k$.

koeficijent uz potenciju $(x+5)^3$

razvoj[3]

-50149.0

koeficijent uz potenciju $(x+5)^0$, tj. slobodni član

razvoj[0]

187397.0

Također možemo koristiti i Hornerov algoritam

kv=p
lin=np.poly1d([1,5])
raz=[]
for k in range(p.o+1):
    kv,ost=kv/lin
    raz.append(ost[0])

raz

[187397.0, -259937.0, 153612.0, -50149.0, 9770.0, -1136.0, 73.0, -2.0]

Možemo implementirati vlastite funkcije za brže rješavanje zadataka

Funkcije se nalaze u datoteci MMZI.py

Hornerov algoritam je brži od algoritma preko derivacija.

import sys
sys.path.append("..")
import MMZI

%time
MMZI.razvoj_der(p,-5)

CPU times: user 4 µs, sys: 0 ns, total: 4 µs
Wall time: 8.11 µs

[187397.0, -259937.0, 153612.0, -50149.0, 9770.0, -1136.0, 73.0, -2.0]

%time
MMZI.razvoj_horner(p,-5)

CPU times: user 3 µs, sys: 0 ns, total: 3 µs
Wall time: 6.68 µs

[187397.0, -259937.0, 153612.0, -50149.0, 9770.0, -1136.0, 73.0, -2.0]

4. zadatak

Odredite Ferrarijevu rezolventu algebarske jednadžbe 4. reda $-5x^4+2x^3-7x^2+4x-2=0.$

Rješenje

Implementirana funkcija se nalazi u datoteci MMZI.py

rez=MMZI.Ferrari_rezolventa([-5,2,-7,4,-2])
rez

poly1d([-8.   ,  5.6  ,  2.56 , -1.536])

print(rez)

    3       2
-8 x + 5.6 x + 2.56 x - 1.536

U ovom slučaju rezolventa ima sva rješenja realna.

rez.r

array([-0.54244289,  0.8       ,  0.44244289])

slika

x2=np.arange(-1,1.1,0.02)
y2=rez(x2)

q=np.poly1d([-5,2,-7,4,-2])
x3=np.arange(-1,1.5,0.02)
y3=q(x3)

Promatrani polinom 4. stupnja nema niti jednu realnu nultočku.

q.r

array([-0.14494897+1.12644917j, -0.14494897-1.12644917j,
        0.34494897+0.43716388j,  0.34494897-0.43716388j])

figure(figsize=(14,6))
subplot(1,2,1)
title('Ferrarijeva rezolventa')
grid(True)
xlim(-1.1,1.1)
ylim(-2.3,10)
hlines(0,-1.1,1.1)
vlines(0,-2.3,10)
plot(x2,y2,'b-',linewidth=2)
plot(rez.r,[0,0,0],c='yellow',marker='h',ls='',ms=7,markeredgecolor='k')
subplot(1,2,2)
title('$f(x)=-5x^4+2x^3-7x^2+4x-2$')
grid(True)
xlim(-1.1,1.4)
ylim(-20,2)
hlines(0,-1.1,1.4)
vlines(0,-20,2)
plot(x3,y3,'b-',linewidth=2);

Polinomi u sympy modulu

import sympy as sp

sp.__version__

'1.8'

sp.init_printing()

import matplotlib.pyplot as plt

Unutar sympy modula možemo raditi s polinomima kao simboličkim izrazima ili preko klase Poly prilagođene za rad s polinomima. Ovdje navodimo samo nekoliko osnovnih stvari koristeći klasu Poly.

x=sp.Symbol('x')

f=sp.Poly(x**5-3*x**3-5*x)
g=sp.Poly(x**2-x+1)

f

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( x^{5} - 3 x^{3} - 5 x, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$

g

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( x^{2} - x + 1, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$

f.as_expr()

$\displaystyle x^{5} - 3 x^{3} - 5 x$

g.as_expr()

$\displaystyle x^{2} - x + 1$

Koeficijenti polinoma

f.all_coeffs()

$\displaystyle \left[ 1, \ 0, \ -3, \ 0, \ -5, \ 0\right]$

g.all_coeffs()

$\displaystyle \left[ 1, \ -1, \ 1\right]$

na poziciji s indeksom $-(k+1)$ je koeficijent uz potenciju $x^k$

f.all_coeffs()[-4]

$\displaystyle -3$

f.all_coeffs()[-3]

$\displaystyle 0$

g.all_coeffs()[-1]

$\displaystyle 1$

Stupanj polinoma

f.degree()

$\displaystyle 5$

g.degree()

$\displaystyle 2$

Računanje vrijednosti polinoma u točki

f(3)

$\displaystyle 147$

g(3)

$\displaystyle 7$

g(3.21)

$\displaystyle 8.0941$

Derivacija polinoma

f.diff(x)

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( 5 x^{4} - 9 x^{2} - 5, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$

f.diff(x).as_expr()

$\displaystyle 5 x^{4} - 9 x^{2} - 5$

g.diff(x)

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( 2 x - 1, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$

g.diff(x).as_expr()

$\displaystyle 2 x - 1$

Derivacije višeg reda

f.diff((x,2))

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( 20 x^{3} - 18 x, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$

f.diff((x,2)).as_expr()

$\displaystyle 20 x^{3} - 18 x$

f.diff((x,3))

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( 60 x^{2} - 18, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$

f.diff((x,3)).as_expr()

$\displaystyle 60 x^{2} - 18$

Integral polinoma

f.integrate(x)

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( \frac{1}{6} x^{6} - \frac{3}{4} x^{4} - \frac{5}{2} x^{2}, x, domain=\mathbb{Q} \right)}$

f.integrate(x).as_expr()

$\displaystyle \frac{x^{6}}{6} - \frac{3 x^{4}}{4} - \frac{5 x^{2}}{2}$

g.integrate(x)

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x, x, domain=\mathbb{Q} \right)}$

g.integrate(x).as_expr()

$\displaystyle \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x$

Zbrajanje polinoma

f+g

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( x^{5} - 3 x^{3} + x^{2} - 6 x + 1, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$

(f+g).as_expr()

$\displaystyle x^{5} - 3 x^{3} + x^{2} - 6 x + 1$

(f+g)(3)

$\displaystyle 154$

Oduzimanje polinoma

f-g

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( x^{5} - 3 x^{3} - x^{2} - 4 x - 1, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$

(f-g).as_expr()

$\displaystyle x^{5} - 3 x^{3} - x^{2} - 4 x - 1$

Množenje polinoma

f*g

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( x^{7} - x^{6} - 2 x^{5} + 3 x^{4} - 8 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$

(f*g).as_expr()

$\displaystyle x^{7} - x^{6} - 2 x^{5} + 3 x^{4} - 8 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x$

Potenciranje polinoma

f**3

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( x^{15} - 9 x^{13} + 12 x^{11} + 63 x^{9} - 60 x^{7} - 225 x^{5} - 125 x^{3}, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$

(f**3).as_expr()

$\displaystyle x^{15} - 9 x^{13} + 12 x^{11} + 63 x^{9} - 60 x^{7} - 225 x^{5} - 125 x^{3}$

Polinom $f^3g+2f$

H=f**3*g+2*f
H

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( x^{17} - x^{16} - 8 x^{15} + 9 x^{14} + 3 x^{13} - 12 x^{12} + 75 x^{11} - 63 x^{10} + 3 x^{9} + 60 x^{8} - 285 x^{7} + 225 x^{6} - 348 x^{5} + 125 x^{4} - 131 x^{3} - 10 x, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$

H.as_expr()

$\displaystyle x^{17} - x^{16} - 8 x^{15} + 9 x^{14} + 3 x^{13} - 12 x^{12} + 75 x^{11} - 63 x^{10} + 3 x^{9} + 60 x^{8} - 285 x^{7} + 225 x^{6} - 348 x^{5} + 125 x^{4} - 131 x^{3} - 10 x$

suma koeficijenata polinoma $f^3g+2f$

H(1)

$\displaystyle -357$

Dijeljenje polinoma

sp.div(f,g)

$\displaystyle \left( \operatorname{Poly}{\left( x^{3} + x^{2} - 3 x - 4, x, domain=\mathbb{Z} \right)}, \ \operatorname{Poly}{\left( -6 x + 4, x, domain=\mathbb{Z} \right)}\right)$

kvocijent,ostatak=sp.div(f,g)

kvocijent.as_expr()

$\displaystyle x^{3} + x^{2} - 3 x - 4$

ostatak.as_expr()

$\displaystyle 4 - 6 x$

S obzirom da za polinome s koeficijentima iz nekog prstena ne vrijedi općenito teorem o dijeljenju, sympy po potrebi polinome s cjelobrojnim koeficijentima gleda kao na polinome s racionalnim koeficijentima prilikom dijeljenja.

h=sp.Poly(3*x**2-x+5)
h.as_expr()

$\displaystyle 3 x^{2} - x + 5$

sp.div(f,h)

$\displaystyle \left( \operatorname{Poly}{\left( \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{9} x^{2} - \frac{41}{27} x - \frac{56}{81}, x, domain=\mathbb{Q} \right)}, \ \operatorname{Poly}{\left( \frac{154}{81} x + \frac{280}{81}, x, domain=\mathbb{Q} \right)}\right)$

Možemo prisiliti sympy da dijeljenje obavi nad prstenom cijelih brojeva, međutim vidimo da onda ne vrijedi teorem o dijeljenju polinoma, tj. stupanj ostatka nije strogo manji od stupnja polinoma s kojim se dijelilo.

sp.div(f,h,domain='ZZ')

$\displaystyle \left( \operatorname{Poly}{\left( 0, x, domain=\mathbb{Z} \right)}, \ \operatorname{Poly}{\left( x^{5} - 3 x^{3} - 5 x, x, domain=\mathbb{Z} \right)}\right)$

Nultočke polinoma

Egzaktno općenito nije moguće uvijek pronaći sve nultočke.

f.all_roots()

$\displaystyle \left[ \operatorname{CRootOf} {\left(x^{4} - 3 x^{2} - 5, 0\right)}, \ 0, \ \operatorname{CRootOf} {\left(x^{4} - 3 x^{2} - 5, 1\right)}, \ \operatorname{CRootOf} {\left(x^{4} - 3 x^{2} - 5, 2\right)}, \ \operatorname{CRootOf} {\left(x^{4} - 3 x^{2} - 5, 3\right)}\right]$

Numeričkim putem možemo pronaći sve nultočke polinoma.

f.nroots()

$\displaystyle \left[ -2.04757964523172, \ 0.0, \ 2.04757964523172, \ - 1.09205421274186 i, \ 1.09205421274186 i\right]$

Samo realne nultočke

list(filter(lambda x: sp.im(x)==0, f.nroots()))

$\displaystyle \left[ -2.04757964523172, \ 0.0, \ 2.04757964523172\right]$

Pomoću solve naredbe moguće je egzaktno riješiti algebarsku jednadžbu 4. reda i u ovom slučaju egzaktno pronaći sve nultočke polinoma $f$.

sp.solve(f.as_expr(),x)

$\displaystyle \left[ 0, \ - i \sqrt{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}}, \ i \sqrt{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}}, \ - \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}}, \ \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}}\right]$

Ako želimo samo realne nultočke

y=sp.Symbol('y',real=True)

sp.solve(f.as_expr(y),y)

$\displaystyle \left[ 0, \ - \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}}, \ \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}}\right]$

Najveća zajednička mjera polinoma

f=x**4+x**3+2*x**2+x+1
g=x**3-2*x**2+x-2
f=f.as_poly()
g=g.as_poly()

f.as_expr()

$\displaystyle x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + x + 1$

g.as_expr()

$\displaystyle x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$

$M(f,g)=x^2+1$

sp.gcd(f,g)

$\displaystyle \operatorname{Poly}{\left( x^{2} + 1, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$

sp.gcd(f,g).as_expr()

$\displaystyle x^{2} + 1$

Prošireni Euklidov algoritam

$f(x)\cdot f_1(x)+g(x)\cdot g_1(x)=M(f,g)$

sp.gcdex(f,g)

$\displaystyle \left( \operatorname{Poly}{\left( \frac{1}{7}, x, domain=\mathbb{Q} \right)}, \ \operatorname{Poly}{\left( - \frac{1}{7} x - \frac{3}{7}, x, domain=\mathbb{Q} \right)}, \ \operatorname{Poly}{\left( x^{2} + 1, x, domain=\mathbb{Q} \right)}\right)$

f1,g1,mjera=sp.gcdex(f,g)

f1.as_expr()

$\displaystyle \frac{1}{7}$

g1.as_expr()

$\displaystyle - \frac{x}{7} - \frac{3}{7}$

mjera.as_expr()

$\displaystyle x^{2} + 1$

5. zadatak

Zadane su točke $(-2,0),(-1,1),(1,2),(2,3.89)$. Odredite polinom najmanjeg stupnja čiji graf prolazi kroz zadane točke.

Rješenje

Prikazani su različiti načini unosa za dobivanje željenog rezultata.

sp.interpolate([(-2,0),(-1,1),(1,2),(2,3.89)],x)

$\displaystyle 0.1575 x^{3} + 0.148333333333333 x^{2} + 0.3425 x + 1.35166666666667$

sp.interpolate([(-2,0),(-1,1),(1,2),(2,sp.Rational(389,100))],x)

$\displaystyle \frac{63 x^{3}}{400} + \frac{89 x^{2}}{600} + \frac{137 x}{400} + \frac{811}{600}$

sp.interpolate({-2:0,-1:1,1:2,2:3.89},x)

$\displaystyle 0.1575 x^{3} + 0.148333333333333 x^{2} + 0.3425 x + 1.35166666666667$

sp.interpolate({-2:0,-1:1,1:2,2:sp.Rational(389,100)},x)

$\displaystyle \frac{63 x^{3}}{400} + \frac{89 x^{2}}{600} + \frac{137 x}{400} + \frac{811}{600}$

Sympy modul nudi plot funkciju pomoću koje možemo brzo nacrtati graf neke funkcije. Na slici je prikazan graf interpolacijskog polinoma. Ako želimo dodati na sliku i početne točke, tada je bolje da koristimo matplotlib modul direktno kako je ranije pokazano.

f=sp.interpolate([(-2,0),(-1,1),(1,2),(2,3.89)],x)
sp.plot(f,(x,-2.5,2.5));

6. zadatak

Odredite sve nultočke polinoma $p(x)=-2x^7+3x^6+4x^5-5x^4+x^3+2x^2+8x+12.$

Rješenje

p=-2*x**7+3*x**6+4*x**5-5*x**4+x**3+2*x**2+8*x+12
p=p.as_poly()

sve nultočke u polju $\mathbb{C}$

p.nroots()

$\displaystyle \left[ -1.26767180772764, \ -1.07474236732802, \ 2.13930159099512, \ -0.242131509213649 - 0.972540285478488 i, \ -0.242131509213649 + 0.972540285478488 i, \ 1.09368780124392 - 0.923733294950994 i, \ 1.09368780124392 + 0.923733294950994 i\right]$

samo realne nultočke

samo_realne=list(filter(lambda x: sp.im(x)==0, p.nroots()))
samo_realne

$\displaystyle \left[ -1.26767180772764, \ -1.07474236732802, \ 2.13930159099512\right]$

najveća realna nultočka

max(samo_realne)

$\displaystyle 2.13930159099512$

najmanja realna nultočka

min(samo_realne)

$\displaystyle -1.26767180772764$

slika

plt.rcParams['figure.figsize'] = 10,7

sp.plot(p.as_expr(),(x,-1.5,2.2),adaptive=False,nb_of_points=150);

7. zadatak

Razvijte polinom $p(x)=-2x^7+3x^6+4x^5-5x^4+x^3+2x^2+8x+12$ po potencijama od $x+5.$

Rješenje

p=-2*x**7+3*x**6+4*x**5-5*x**4+x**3+2*x**2+8*x+12
razvoj=p.series(x,-5,8)
razvoj

$\displaystyle - 259937 x - 2 \left(x + 5\right)^{7} + 73 \left(x + 5\right)^{6} - 1136 \left(x + 5\right)^{5} + 9770 \left(x + 5\right)^{4} - 50149 \left(x + 5\right)^{3} + 153612 \left(x + 5\right)^{2} - 1112288$

U gornjem zapisu je nezgodno što nije posebno izdvojen član $x+5$. Možemo tome doskočiti jednostavnim trikom sa supstitucijom.

u=sp.Symbol('u')
raz=razvoj.subs({x:u-5})
raz

$\displaystyle - 2 u^{7} + 73 u^{6} - 1136 u^{5} + 9770 u^{4} - 50149 u^{3} + 153612 u^{2} - 259937 u + 187397$

Član uz $(x+5)^1$

raz.coeff(u,1)

$\displaystyle -259937$

Član uz $(x+5)^0$

raz.coeff(u,0)

$\displaystyle 187397$

Član uz $(x+5)^4$

raz.coeff(u,4)

$\displaystyle 9770$

8. zadatak

Odredite $a,b\in\mathbb{R}$ tako da $-2$ bude dvostruka nultočka polinoma $f(x)=x^4+2x^3+ax^2+(a+b)x+2.$

Rješenje

a,b=sp.symbols('a b')
f=x**4+2*x**3+a*x**2+(a+b)*x+2
f=f.as_poly()

f1=f.diff(x)
f1.as_expr()

$\displaystyle 2 a x + a + b + 4 x^{3} + 6 x^{2}$

$f(-2)=0,\ f'(-2)=0$

eq1=f(-2).as_expr()
eq2=f1(-2).as_expr()
eq1,eq2

$\displaystyle \left( 2 a - 2 b + 2, \ - 3 a + b - 8\right)$

$a=-\frac{7}{2},\ b=-\frac{5}{2}$

sp.linsolve([eq1,eq2],[a,b])

$\displaystyle \left\{\left( - \frac{7}{2}, \ - \frac{5}{2}\right)\right\}$

Graf dobivenog polinoma

f_rj=f.subs({a:sp.Rational(-7,2),b:sp.Rational(-5,2)})
f_rj.as_expr()

$\displaystyle x^{4} + 2 x^{3} - \frac{7 x^{2}}{2} - 6 x + 2$

sp.plot(f_rj.as_expr(),(x,-3,2.5));

nultočke

f_rj.nroots()

$\displaystyle \left[ -2.0, \ -1.99999999999999, \ 0.292893218813452, \ 1.70710678118655\right]$