\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[left=2.3cm,right=2.5cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage[croatian]{babel}
\usepackage{eurofont}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{setspace}
\setstretch{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{center}
\shadowbox{Funkcije u ekonomiji}\\[3pt]
-- zadaci za vje\v{z}bu --
\end{center}
%\vspace*{0.1cm}
\begin{enumerate}

\item Funkcija potra\v{z}nje je $Q=50-20\cdot 0.3^{p}.$ Odredite elasti\v{c}nost ove funkcije za $p=2$
i interpretirajte rezultat. Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove funkcija $Q$ i $E_{Q,p}$ na zasebnim slikama.

\item Funkcija potra\v{z}nje je $Q_1=6-0.7p^{-\tfrac{3}{2}},$ a funkcija ponude $Q_2=1+0.4p^{\tfrac{3}{2}}.$ 
Odredite cijenu ekvilibrija, te elasti\v{c}nosti ovih funkcija za tu cijenu i interpretirajte dobivene rezultate.
Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove funkcija $Q_1$ i $Q_2$ na istoj slici i istaknite na toj slici
to\v{c}ku ekvilibrija. Tako\dj er, na drugoj slici nacrtajte grafove funkcija $E_{Q_1,p}$ i $E_{Q_2,p}$.
Za tra\v{z}enje cijene ekvilibrija u \texttt{maximi} koristite naredbu \texttt{find\_root}.

\item Zadana je funkcija potra\v{z}nje $Q=0.25\sqrt{18-p^{2}}.$ Odredite $E_{Q,p}(2)$ i interpretirajte rezultat. 
Izra\v{c}unajte i $E_{Q,p}(4)$ te objasnite razliku izme\dj u tih dviju vrijednosti.
U \texttt{maximi} nacrtajte grafove funkcija $Q$ i $E_{Q,p}$ na istoj slici.

\item Zadana je funkcija ponude $q=1.4^{p}\cdot\frac{p-3}{p^2+1}$. Odredite elasti\v{c}nost ponude za $p=4$ 
i interpretirajte dobiveni podatak. U \texttt{maximi} nacrtajte grafove funkcija $q$ i $E_{q,p}$ na istoj slici.

\item Funkcija tro\v{s}kova zadana je s $$T(Q)=\dfrac{2^Q}{5Q-\log_4{Q}}.$$ Odredite grani\v{c}ne tro\v{s}kove
i elasti\v{c}nost tro\v{s}kova za $Q=4$ i interpretirajte dobivene podatke. Nacrtajte u \texttt{maximi}
grafove funkcija $T, T_g, E_{T,Q}$ na istoj slici. Pomo\'cu naredbe \texttt{find\_root} prona\dj ite
presje\v{c}ne to\v{c}ke grafa funkcije $E_{T,Q}$ s grafovima funkcija $T$ i $T_g$.

\item Ovisnost potra\v{z}nje za nekom robom o cijeni dana je tablicom
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
cijena & 50 & 52 & 54 & 56 \\
\hline
potra\v{z}nja & 160 & 155 & 151 & 146 \\
\hline
\end{tabular} .
\end{center}
Odredite linearnu funkciju koja najbolje aproksimira potra\v{z}nju zadanu tablicom.
Prika\v{z}ite graf\mbox{}i\v{c}ki dobivenu linearnu funkciju i zadane podatke u tablici.
Koriste\'ci se dobivenom linearnom funkcijom procijenite uz koju cijenu \'ce potra\v{z}nja 
biti jednaka 60.

\item Funkcija potra\v{z}nje je $Q_1(x)=\frac{x-1}{x-2}$, a funkcija ponude $Q_2(x)=\frac{2x+1}{x+100}$. 
Odredite cijene ekvilibrija te elasti\v{c}nosti tih funkcija u ve\'coj cijeni ekvilibrija i 
interpretirajte dobivene podatke. U \texttt{maximi} nacrtajte grafove funkcija $Q_1$ i $Q_2$ na istoj slici
sa istaknutim to\v{c}kama ekvilibrija.

\item Funkcija tro\v{s}kova zadana je sa $T=\frac{Q^2-2}{2Q+3}$.
\begin{enumerate}
\item Odredite elasti\v{c}nost tro\v{s}kova za $15$ proizvoda i interpretirajte dobiveni podatak.
\item Odredite grani\v{c}ne tro\v{s}kove za $10$ proizvoda i interpretirajte dobiveni podatak.
\item Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove funkcija $T, T_g, E_{T,Q}$ na istoj slici. 
Pomo\'cu naredbe \texttt{find\_root} prona\dj ite presje\v{c}ne to\v{c}ke grafa funkcije $T$ 
s grafovima funkcija $T_g$ i $E_{T,Q}$.
\end{enumerate}

\item Funkcija potra\v{z}nje $q=3.4892-0.0899p$ pokazuje ovisnost potro\v{s}nje gove\dj eg mesa u ovisnosti 
o njegovoj cijeni. 
\begin{enumerate}
\item Nacrtajte graf funkcije potra\v{z}nje.
\item Odredite elasti\v{c}nost funkcije potra\v{z}nje na razini $p=20$ i interpretirajte rezultat.
\item Odredite na kojoj razini cijene pove\'canje cijene od $1\%$ uzrokuje pad potra\v{z}nje za 
$4\%$.
\item Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove funkcija $q$ i $E_{q,p}$ na istoj slici na domeni
$p\in[0,100]$. 
\end{enumerate}

\item Zadana je funkcija prosje\v{c}nih tro\v{s}kova $T_p=4x+21.4$.
\begin{enumerate}
\item Odredite funkciju tro\v{s}kova i nacrtajte njezin graf.
\item Odredite grani\v{c}ne tro\v{s}kove za 1000 proizvedenih proizvoda i interpretirajte dobiveni rezultat.
\item \v{S}to \'ce se dogoditi s tro\v{s}kovima ako se na razini od 1000 proizvoda, proizvodnja pove\'ca za $1\%$?
\end{enumerate}

\item Zadana je funkcija ponude $q=39.2-\dfrac{100.4}{p^2}$. 
\begin{enumerate}
\item Za koju cijenu \'ce elasti\v{c}nost ponude biti jednaka 0.8? Interpretirajte rezultat za tu cijenu!
\item Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove funkcija $q$ i $E_{q,p}$ na istoj slici na domeni
$p\in[0,5]$ i pomo\'cu naredbe \texttt{find\_root} prona\dj ite cijenu za koju je elasti\v{c}nost ponude
jednaka samoj ponudi. 
\end{enumerate}

\item Zadana je funkcija prosje\v{c}nih tro\v{s}kova $T_p=\frac{3Q+2}{Q+1}$.
\begin{enumerate}
\item Odredite funkciju grani\v{c}nih tro\v{s}kova.
\item Za koju koli\v{c}inu proizvodnje \'ce grani\v{c}ni tro\v{s}kovi iznositi 2.99? 
Koliki su tro\v{s}kovi u tom slu\v{c}aju?
\item Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove funkcija $T, T_p, T_g, E_{T,Q}$ svakog na zasebnoj slici. 
\end{enumerate}

\item Zadana je funkcija tro\v{s}kova $T=2+\frac{3Q-1}{5Q+1}$.
\begin{enumerate}
\item Odredite funkcije prosje\v{c}nih i grani\v{c}nih tro\v{s}kova.
\item Izra\v{c}unajte elasti\v{c}nost tro\v{s}kova za $Q=10$ i interpretirajte rezultat.
\item Koliki bi bili tro\v{s}kovi kada bi se proizvelo beskona\v{c}no proizvoda. 
Da li bi tro\v{s}kovi tada bili beskona\v{c}no veliki?
\item Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove funkcija $T, T_p, T_g, E_{T,Q}$ svakog na zasebnoj slici.
\end{enumerate}

\item Funkcija ponude je $q=\sqrt{(3p^2-p-2)^5}$.
\begin{enumerate}
\item Izra\v{c}unajte elasti\v{c}nost ponude za cijenu $p=1.5$\hspace*{1pt}. Interpretirajte rezultat!
\item Koliko \'ce se proizvoda ponuditi vi\v{s}e po dvostruko ve\'coj cijeni od one iz (a) dijela zadatka?
\item Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove funkcija $q$ i $E_{q,p}$ na istoj slici na domeni
$p\in[0,5]$ i pomo\'cu naredbe \texttt{find\_root} prona\dj ite cijenu za koju je elasti\v{c}nost ponude
jednaka samoj ponudi.
\end{enumerate}

\item Zadana je funkcija tro\v{s}kova $T=\frac{5Q-3}{Q+1}\cdot \log_3{Q}$.
\begin{enumerate}
\item Odredite elasti\v{c}nost tro\v{s}kova za $Q=3$ i interpretirajte rezultat.
Izra\v{c}unajte koliki su tro\v{s}kovi za $100$ proizvedenih proizvoda.
\item Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove tro\v{s}kova i grani\v{c}nih tro\v{s}kova na istoj slici. 
Pomo\'cu naredbe \texttt{find\_root} prona\dj ite koli\v{c}inu proizvodnje za koju su tro\v{s}kovi jednaki 
grani\v{c}nim tro\v{s}kovima.
\end{enumerate}

\item Funkcija potra\v{z}nje za mini suknjama je $q=500-8p$.
\begin{enumerate}
\item Da li je ova funkcija elasti\v{c}na za $p=30$\hspace*{1pt}\euro\,?
\item Trebamo li pove\'cati ili smanjiti cijenu ako  \v{z}elimo  pove\'cati prihod? Objasnite!
\item Uz koju cijenu bi se ostvario maksimalni prihod?
\item Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove funkcija $q$ i $E_{q,p}$ na istoj slici na domeni
$p\in[0,100]$. 
\end{enumerate}

\item Funkcija potra\v{z}nje je $q=8.8\sqrt{21-0.3p^2}$.
\begin{enumerate}
\item Izra\v{c}unajte elasti\v{c}nost potra\v{z}nje za cijenu $p=3$. Interpretirajte rezultat!
\item Uz koju cijenu \'ce se ostvariti maksimalni prihod?
\item Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove funkcije potra\v{z}nje i funkcije prihoda na istoj slici
i odredite uz koju je cijenu prihod jednak $100$.
\end{enumerate}

\item Zadana je funkcija tro\v{s}kova\, $T=2x^{^{\frac{3}{2}}}+96x+1000$.
\begin{enumerate}
\item Na razini proizvodnje od 1000 proizvoda odredite tro\v{s}ak, prosje\v{c}ni tro\v{s}ak i 
grani\v{c}ni tro\v{s}ak.
\item Odredite za koju razinu proizvodnje je prosje\v{c}ni tro\v{s}ak minimalan i koliki je taj minimalni 
prosje\v{c}ni tro\v{s}ak.
\item Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove prosje\v{c}nih tro\v{s}kova i grani\v{c}nih tro\v{s}kova na istoj
slici. Tako\dj er na slici istaknite to\v{c}ku u kojoj su grani\v{c}ni tro\v{s}kovi jednaki prosje\v{c}nim
tro\v{s}kovima.
\end{enumerate}

\item Funkcija ponude je $q=\log_{1.1}{(p^2-2p+10)}$.
\begin{enumerate}
\item Izra\v{c}unajte elasti\v{c}nost ponude za cijenu $p=5$\hspace*{1pt}. Interpretirajte rezultat!
\item Koliko se proizvoda nudi po cijeni $p=20$?
\item Nacrtajte u \texttt{maximi} graf funkcije $q$ i pravac $f(p)=-2.75p+55$ na istoj slici te pomo\'cu
naredbe \texttt{find\_root} prona\dj ite njihov presjek. 
\end{enumerate}

\item Zadana je funkcija tro\v{s}kova\, $T=\frac{(Q^2+2)^2}{Q-1}\cdot Q$.
\begin{enumerate}
\item Odredite grani\v{c}ne tro\v{s}kove za $Q=2$ i interpretirajte rezultat.
\item Izra\v{c}unajte koliki su prosje\v{c}ni tro\v{s}kovi za $10$ proizvedenih proizvoda.
\item Nacrtajte u \texttt{maximi} grafove prosje\v{c}nih tro\v{s}kova i grani\v{c}nih tro\v{s}kova na istoj
slici te pomo\'cu naredbe \texttt{find\_root} prona\dj ite koli\v{c}inu proizvodnje za koju su prosje\v{c}ni
i grani\v{c}ni tro\v{s}kovi jednaki. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace*{1cm}
\shadowbox{Kratka rje\v{s}enja}
\begin{enumerate}
\item $E_{Q,p}(2)=0.09$
\item $p=5.35,\quad E_{Q_1,p}(5.35)=0.01,\quad E_{Q_2,p}(5.35)=1.25$ 
\item $E_{Q,p}(2)=-0.29,\quad E_{Q,p}(4)=-8$
\item $E_{q,p}(4)=3.46$
\item $T_g(4)=0.37,\quad E_{T,Q}(4)=1.76$
\item $q=-2.3p+274.9,\quad p=93.43$ 
\item $p_1=101.03,\quad p_2=0.97,\quad E_{Q_1,p}(101.03)=-0.01,\quad E_{Q_2,p}(101.03)=0.49$
\item (a) $E_{T,Q}(15)=1.11$\quad (b) $T_g(10)=0.499$
\item (b) $E_{q,p}(20)=-1.06$\quad (c) $p=31.05$
\item (a) $T=4x^2+21.4x$\quad (b) $T_g(1000)=8021.4$\quad (c) $E_{T,x}(1000)=1.99$
\item (a) $p=2.99$
\item (a) $T_g=\frac{3Q^2+6Q+2}{(Q+1)^2}$\quad (b) $Q=9,\ T(9)=26.1$
\item (a) $T_p=\frac{2}{Q}+\frac{3Q-1}{5Q^2+Q},\ T_g=\frac{8}{(5Q+1)^2}$\quad
(b) $E_{T,Q}(10)=0.01$\quad (c) $\lim\limits_{Q\to\infty}{T(Q)}=\frac{13}{5}$
\item (a) $E_{q,p}(1.5)=9.23$\quad (b) $2251.12$
\item (a) $E_{T,Q}(3)=1.41,\ T(100)=20.63$
\item (a) $E_{q,p}(30)=-0.92$, neelasti\v{c}na\quad (b) zbog neelasti\v{c}nosti za $p=30$ cijenu treba 
pove\'cati,\\ (c) $p=31.25$
\item  (a) $E_{q,p}(3)=-0.15$\quad (b) $p=5.92$
\item (a) $T(1000)=160245.55,\ T_p(1000)=160.25,\ T_g(1000)=190.87$\quad (b) $T_p(100)=126$
\item (a) $E_{q,p}(5)=0.497$\quad (b) $q(20)=62.04$
\item (a) $T_g(2)=60$\quad (b) $T_p(10)=1156$
\end{enumerate}


\end{document}
