# Neodređeni integral

sintaksa naredbe

integrate(f(x),x);

neki tablični integrali

integrate(x^n,x);

integrate(1/x,x);

integrate(a^x,x);

integrate(1/(a*x+b),x);

integrate(1/(x^2+a^2),x);

integrate(1/(x^2-a^2),x);

logcontract(%);

integrate(diff(f(x),x)/f(x),x);

primjer 1

integrate(1/x^(3/4),x);

primjer 2

integrate((x-3)^2/x^5,x);

expand(%);

primjer 3

integrate(5*%e^x-3*sin(x),x);

primjer 4

integrate(3^x*%e^x,x);

expand(%);

primjer 5

integrate((3-2*x)^8,x);

primjer 6

integrate((x-2)^(3/4),x);

primjer 7

integrate(x*7^(x^2),x);

primjer 8

integrate(x/sqrt(1-x^2),x);

primjer 9

integrate(x^2/(1+x^6),x);

primjer 10

integrate((1+log(x))^(1/3)/x,x);

primjer 11

integrate((1-sin(x))/(x+cos(x)),x);

primjer 12

integrate(1/(%e^x+1),x);

primjer 13

integrate(log(x),x);

primjer 14

integrate(x*cos(3*x),x);

primjer 15

integrate(x^2*%e^(3*x),x);

primjer 16

integrate(x^5*log(x),x);

primjer 17

integrate(%e^x*cos(x),x);

primjer 18

integrate(1/(3*x^2+5),x);

primjer 19

integrate(1/(3-2*x),x);

primjer 20

integrate(1/(x^2-3),x);

primjer 21

integrate((1-3*x)/(3+2*x),x);

primjer 22

integrate(1/(3*x^2+x-4),x);

primjer 23

integrate(1/(3*x^2+x+4),x);

primjer 24

integrate((x^2+5*x-4)/(5*x+3),x);

primjer 25

integrate((5*x+3)/(x^2+5*x-4),x);

# Određeni integral

load(draw)$

set_draw_defaults(
    grid=true,
    xaxis=true,
    yaxis=true,
    xaxis_width=2,
    yaxis_width=2,
    xaxis_type=solid,
    yaxis_type=solid)$

sintaksa naredbe

integrate(f(x),x,a,b);

********************************
** primjer 1 - sinus funkcija **
********************************

wxdraw2d(fill_color = orange,xrange=[-1,7],yrange=[-1.3,1.3],
       filled_func = 0,
       explicit(sin(x),x,0,2*%pi),
       filled_func = false, line_width=2,
       explicit(sin(x),x,0,2*%pi));

određeni integral funkcije sinus na [0,2*pi] je jednak nula

integrate(sin(x),x,0,2*%pi);

površina

p1:integrate(sin(x),x,0,%pi);

p2:-integrate(sin(x),x,%pi,2*%pi);

ukupna površina

p1+p2;

**********************************************************
** primjer 2 - površina ispod grafa prirodnog logaritma **
**********************************************************

wxdraw2d(fill_color = orange,xrange=[-1,7],yrange=[-3,3],
       filled_func = 0,
       explicit(log(x),x,2,5),
       filled_func = false, line_width=2,
       explicit(log(x),x,0,7));

ukupna površina

integrate(log(x),x,2,5);

%,numer;

******************************************************************************
** primjer 3 - površina omeđena pravcima y=x i x=3, krivuljom y=1/x i x-osi **
******************************************************************************

wxdraw2d(fill_color = orange,xrange=[-1,4],yrange=[-1.5,4],
       filled_func = 0,
       explicit(x,x,0,1), explicit(1/x,x,1,3),
       filled_func = false, line_width=2,
       explicit(x,x,-1,4), explicit(1/x,x,0.1,4));

površina

p1:integrate(x,x,0,1);

p2:integrate(1/x,x,1,3);

ukupna površina

p1+p2;

************************************************************************
** primjer 4 - površina omeđena parabolom f(x)=x^2 i pravcem g(x)=x+2 **
************************************************************************

f(x):=x^2;
g(x):=x+2;

wxdraw2d(fill_color = orange,xrange=[-3,4],yrange=[-1.5,5],
       filled_func = x^2,
       explicit(x+2,x,-1,2),
       filled_func = false, line_width=2,
       explicit(x^2,x,-2.5,2.5), explicit(x+2,x,-2.5,2.7));

presjek grafova

solve(f(x)=g(x),x);

ukupna površina

integrate(g(x)-f(x),x,-1,2);

**********************************************************************************
** primjer 5 - površina omeđena krivuljama y=1/x, y=x^2 i y=4 u prvom kvadrantu **
**********************************************************************************

wxdraw2d(fill_color = orange,xrange=[-3,4],yrange=[-1.5,5],
       filled_func = 4, explicit(1/x,x,1/4,1),
       filled_func = 4, explicit(x^2,x,1,2),
       filled_func = false, line_width=2,
       explicit(x^2,x,-2.5,2.5), explicit(1/x,x,0.1,5),explicit(4,x,-2.5,3.5));

površina

p1:integrate(4-1/x,x,1/4,1);

p2:integrate(4-x^2,x,1,2);

ukupna površina

p1+p2;

%,numer;

# Elastičnost i granični troškovi

***************
** PRIMJER 1 **
**************************************************************************
Odredite funkciju potražnju q(p) ako je njezina elastičnost jednaka E=-2p
i vrijedi q(0)=2.
**************************************************************************

sve funkcije q(p) čija je elastičnost jednaka -2p

rj:ode2(p/q*'diff(q,p)=-2*p,q,p);

funkcija za koju još vrijedi i q(0)=2

ic1(rj,p=0,q=2);

***************
** PRIMJER 2 **
**************************************************************************
Zadana je funkcija graničnih troškova Tg(Q)=(1+Q)e^(-Q). Odredite funkciju 
troškova ako fiksni troškovi iznose 100.
**************************************************************************

tr:integrate((1+Q)*%e^(-Q),Q);

solve(subst(0,Q,tr)+C=100,C);

funkcija troškova

tr+102;