linearni_sustavi

1 Sustavi linearnih jednadžbi

1. zadatak

(%i1)

linsolve([2*x+3*y+z=2, x-3*y+2*z=6, -2*x+6*y-z=3], [x,y,z]);

matrica sustava

(%i2)

M: coefmatrix([2*x+3*y+z=2, x-3*y+2*z=6, -2*x+6*y-z=3], [x,y,z]);

(M) matrix(<BR>
[2, 3, 1],<BR>
[1, -3, 2],<BR>
[-2, 6, -1]<BR>
)

proširena matrica sustava (pazite: ovdje daje zadnji stupac slobodnih članova kako on izgleda s lijeve strane jednadžbe, a mi smo ga unosili onako kako izgleda s desne strane jednadžbe).
No, to je stvar dogovora i nema utjecaja na Kronecker-Capellijev teorem.

(%i3)

Mp: augcoefmatrix([2*x+3*y+z=2, x-3*y+2*z=6, -2*x+6*y-z=3], [x,y,z]);

(Mp) matrix(<BR>
[2, 3, 1, -2],<BR>
[1, -3, 2, -6],<BR>
[-2, 6, -1, -3]<BR>
)

Rang matrice sustava jednak je rangu proširene matrice sustava i taj rang je baš jednak broju varijabli.
Prema Kronecker-Capellijevom teoremu sustav ima jedinstveno rješenje.

(%i4)

[rank(M),rank(Mp)];

2. zadatak

(%i5)

sustav: [x+y+2*z+3*u=6,x-4*y+2*z-3*u=-4,7*y+2*z+5*u=12,x+3*y+4*z+2*u=8];

(sustav) [2*z+y+x+3*u=6,2*z-4*y+x-3*u=-4,2*z+7*y+5*u=12,4*z+3*y+x+2*u=8]

varijabla u je parametar i pripadno bazično rješenje

(%i6)

rj1:linsolve(sustav,[x,y,z,u]);

solve: dependent equations eliminated: (4)

(rj1) [x=-(26*%r1-30)/5,y=-(6*%r1-10)/5,z=(17*%r1-10)/10,u=%r1]

(%i7)

%rnum_list;

(%i8)

subst(0,%rnum_list[1],rj1);

varijabla z je parametar i pripadno bazično rješenje

(%i9)

rj2: linsolve(sustav,[x,y,u,z]);

(rj2) [x=-(52*%r2-50)/17,y=-(12*%r2-22)/17,u=(10+10*%r2)/17,z=%r2]

(%i10)

%rnum_list;

(%i11)

subst(0,%rnum_list[1],rj2);

varijabla y je parametar i pripadno bazično rješenje

(%i12)

rj3:linsolve(sustav,[x,z,u,y]);

(rj3) [x=(13*%r3-8)/3,z=-(17*%r3-22)/12,u=-(5*%r3-10)/6,y=%r3]

(%i13)

%rnum_list;

(%i14)

subst(0,%rnum_list[1],rj3);

varijabla x je parametar i pripadno bazično rješenje

(%i15)

rj4:linsolve(sustav,[y,z,u,x]);

(rj4) [y=(8+3*%r4)/13,z=-(17*%r4-50)/52,u=-(5*%r4-30)/26,x=%r4]

(%i16)

%rnum_list;

(%i17)

subst(0,%rnum_list[1],rj4);

ako ne želimo uvoditi nova slova za parametre

(%i18)

linsolve_params: false$

varijabla u je parametar

(%i19)

r1:linsolve(sustav,[x,y,z,u]);

(r1) [x=-(26*u-30)/5,y=-(6*u-10)/5,z=(17*u-10)/10]

pripadno bazično rješenje (sada nigdje ne piše u=0 jer je slovo u ujedno i parametar, ali znamo da smo uvrstili u=0 u opće rješenje)

(%i20)

subst(0,u,r1);

varijabla z je parametar

(%i21)

r2:linsolve(sustav,[x,y,u,z]);

(r2) [x=-(52*z-50)/17,y=-(12*z-22)/17,u=(10+10*z)/17]

pripadno bazično rješenje (sada nigdje ne piše z=0 jer je slovo u ujedno i parametar, ali znamo da smo uvrstili z=0 u opće rješenje)

(%i22)

subst(0,z,r2);

varijabla y je parametar

(%i23)

r3:linsolve(sustav,[x,z,u,y]);

(r3) [x=(13*y-8)/3,z=-(17*y-22)/12,u=-(5*y-10)/6]

pripadno bazično rješenje (sada nigdje ne piše y=0 jer je slovo u ujedno i parametar, ali znamo da smo uvrstili y=0 u opće rješenje)

(%i24)

subst(0,y,r3);

varijabla x je parametar

(%i25)

r4:linsolve(sustav,[y,z,u,x]);

(r4) [y=(8+3*x)/13,z=-(17*x-50)/52,u=-(5*x-30)/26]

pripadno bazično rješenje (sada nigdje ne piše x=0 jer je slovo u ujedno i parametar, ali znamo da smo uvrstili x=0 u opće rješenje)

(%i26)

subst(0,x,r4);

matrica sustava

(%i27)

M: coefmatrix(sustav,[x,y,z,u]);

(M) matrix(<BR>
[1, 1, 2, 3],<BR>
[1, -4, 2, -3],<BR>
[0, 7, 2, 5],<BR>
[1, 3, 4, 2]<BR>
)

proširena matrica sustava

(%i28)

Mp: augcoefmatrix(sustav,[x,y,z,u]);

(Mp) matrix(<BR>
[1, 1, 2, 3, -6],<BR>
[1, -4, 2, -3, 4],<BR>
[0, 7, 2, 5, -12],<BR>
[1, 3, 4, 2, -8]<BR>
)

Rang matrice sustava jednak je rangu proširene matrice sustava i taj rang je manji od broja varijabli.
Prema Kronecker-Capellijevom teoremu sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

(%i29)

[rank(M),rank(Mp)];

uvjet pod kojim je suma komponenata rješenja pozitivna ako uzmemo opće rješenje u kojemu je varijabla y parametar

(%i30)

r3;

(%o30) [x=(13*y-8)/3,z=-(17*y-22)/12,u=-(5*y-10)/6]

suma komponenata rješenja (dva načina - ručno ispisivanje ili korištenje naredbe sum)
naredba rhs nam daje desnu stranu u jednakosti, a naredba lhs daje lijevu stranu u jednakosti

(%i31)

[r3[1],lhs(r3[1]),rhs(r3[1])];

(%i32)

rhs(r3[1])+rhs(r3[2])+rhs(r3[3])+y;

(%o32) -(17*y-22)/12+(13*y-8)/3-(5*y-10)/6+y

(%i33)

nejednakost:sum(rhs(r3[i]),i,1,3)+y;

(nejednakost) -(17*y-22)/12+(13*y-8)/3-(5*y-10)/6+y

rješavanje nejednadžbe - dva načina:
1. način: pomoću naredbe to_poly_solve
2. način: pomoću naredbe fourier_elim koju najprije treba učitati pomoću naredbe load

(%i34)

to_poly_solve(nejednakost>0,y);

to_poly_solve: to_poly_solver.mac is obsolete; I'm loading to_poly_solve.mac instead.

(%i35)

load(fourier_elim)$

(%i36)

fourier_elim([nejednakost>0],[y]);

3. zadatak

(%i37)

sustav2: [2*x1+3*x2+2*x3+6*x4=1,-2*x1+3*x2-6*x3+12*x4=-19,2*x1+6*x2+15*x4=-8];

(sustav2) [6*x4+2*x3+3*x2+2*x1=1,12*x4-6*x3+3*x2-2*x1=-19,15*x4+6*x2+2*x1=-8]

pazite: već ranije smo bili stavili linsolve_params: false$ pa se neće uvoditi nova slova za parametre osim ako ponovo ne stavimo vrijednost spomenute varijable na true

varijable x3 i x4 su parametri i pripadno bazično rješenje

(%i38)

r34:linsolve(sustav2,[x1,x2,x3,x4]);

solve: dependent equations eliminated: (1)

(r34) [x1=(10-4*x3+3*x4)/2,x2=-(9-2*x3+9*x4)/3]

(%i39)

subst([x3=0,x4=0],r34);

varijable x1 i x2 su parametri i pripadno bazično rješenje

(%i40)

r12:linsolve(sustav2,[x3,x4,x1,x2]);

(r12) [x3=-(-21+6*x1+3*x2)/10,x4=-(8+2*x1+6*x2)/15]

(%i41)

subst([x1=0,x2=0],r12);

varijable x1 i x3 su parametri i pripadno bazično rješenje

(%i42)

r13:linsolve(sustav2,[x2,x4,x1,x3]);

(r13) [x2=-(-21+6*x1+10*x3)/3,x4=(-10+2*x1+4*x3)/3]

(%i43)

subst([x1=0,x3=0],r13);

varijable x1 i x4 su parametri i pripadno bazično rješenje

(%i44)

r14:linsolve(sustav2,[x2,x3,x1,x4]);

(r14) [x2=-(8+2*x1+15*x4)/6,x3=(10-2*x1+3*x4)/4]

(%i45)

subst([x1=0,x4=0],r14);

varijable x2 i x3 su parametri i pripadno bazično rješenje

(%i46)

r23:linsolve(sustav2,[x1,x4,x2,x3]);

(r23) [x1=-(-21+3*x2+10*x3)/6,x4=(-9-3*x2+2*x3)/9]

(%i47)

subst([x2=0,x3=0],r23);

varijable x2 i x4 su parametri i pripadno bazično rješenje

(%i48)

r24:linsolve(sustav2,[x1,x3,x2,x4]);

(r24) [x1=-(8+6*x2+15*x4)/2,x3=(9+3*x2+9*x4)/2]

(%i49)

subst([x2=0,x4=0],r24);

matrica sustava

(%i50)

M:coefmatrix(sustav2,[x1,x2,x3,x4]);

(M) matrix(<BR>
[2, 3, 2, 6],<BR>
[-2, 3, -6, 12],<BR>
[2, 6, 0, 15]<BR>
)

proširena matrica sustava

(%i51)

Mp:augcoefmatrix(sustav2,[x1,x2,x3,x4]);

(Mp) matrix(<BR>
[2, 3, 2, 6, -1],<BR>
[-2, 3, -6, 12, 19],<BR>
[2, 6, 0, 15, 8]<BR>
)

Rang matrice sustava jednak je rangu proširene matrice sustava i taj rang je manji od broja varijabli.
Prema Kronecker-Capellijevom teoremu sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

(%i52)

[rank(M),rank(Mp)];

4. zadatak - kontradiktorni sustav

(%i53)

sustav3:[x1-4*x2+5*x3=6,-3*x2+2*x3=-12,2*x1+7*x2=35]$

(%i54)

linsolve(sustav3,[x1,x2,x3]);

matrica sustava

(%i55)

M:coefmatrix(sustav3,[x1,x2,x3]);

(M) matrix(<BR>
[1, -4, 5],<BR>
[0, -3, 2],<BR>
[2, 7, 0]<BR>
)

proširena matrica sustava

(%i56)

Mp:augcoefmatrix(sustav3,[x1,x2,x3]);

(Mp) matrix(<BR>
[1, -4, 5, -6],<BR>
[0, -3, 2, 12],<BR>
[2, 7, 0, -35]<BR>
)

Rang matrice sustava je različit od ranga proširene matrice sustava.
Prema Kronecker-Capellijevom teoremu sustav je kontradiktoran.

(%i57)

[rank(M),rank(Mp)];

5. zadatak

(%i58)

sustav4:[-4*x1-3*x2-4*x3=-1,x1+x2+x3=1,14*x1+11*x2+14*x3=5,11*x1+9*x2+11*x3=5]$

varijabla x3 je parametar i pripadno bazično rješenje

(%i59)

r1:linsolve(sustav4,[x1,x2,x3]);

solve: dependent equations eliminated: (3 4)

(%i60)

subst([x3=0],r1);

varijabla x1 je parametar i pripadno bazično rješenje

(%i61)

r2:linsolve(sustav4,[x3,x2,x1]);

(%i62)

subst([x1=0],r2);

matrica sustava

(%i63)

M:coefmatrix(sustav4,[x1,x2,x3]);

(M) matrix(<BR>
[-4, -3, -4],<BR>
[1, 1, 1],<BR>
[14, 11, 14],<BR>
[11, 9, 11]<BR>
)

proširena matrica sustava

(%i64)

Mp:augcoefmatrix(sustav4,[x1,x2,x3]);

(Mp) matrix(<BR>
[-4, -3, -4, 1],<BR>
[1, 1, 1, -1],<BR>
[14, 11, 14, -5],<BR>
[11, 9, 11, -5]<BR>
)

Rang matrice sustava jednak je rangu proširene matrice sustava i taj rang je manji od broja varijabli.
Prema Kronecker-Capellijevom teoremu sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

(%i65)

[rank(M),rank(Mp)];

2 Nejednadžbe

rješavanje nejednadžbe - dva načina:
1. način: pomoću naredbe to_poly_solve
2. način: pomoću naredbe fourier_elim koju najprije treba učitati pomoću naredbe load

(%i66)

load(fourier_elim)$

1. zadatak

(%i67)

to_poly_solve(2*x-3/5>(5*x-3)/2,x);

(%i68)

fourier_elim([2*x-3/5>(5*x-3)/2],[x]);

2. zadatak

(%i69)

to_poly_solve(-4*x^2+12*x+40<=0,x);

(%o69) %union([5<x],[x=-2],[x<-2],[x=5])

(%i70)

fourier_elim([-4*x^2+12*x+40<=0],[x]);

(%o70) [x=-2] or [x=5] or [5<x] or [x<-2]

(%i71)

wxplot2d([-4*x^2+12*x+40], [x,-5,8],[axes,true])$

(%i72)

plot2d([-4*x^2+12*x+40], [x,-5,8],
[gnuplot_preamble, "set grid;"])$

(%i73)

to_poly_solve(-4*x^2+12*x+40>0,x);

(%i74)

fourier_elim([-4*x^2+12*x+40>0],[x]);

3. zadatak

(%i75)

load("draw")$

(%i76)

to_poly_solve([3*x1-4*x2<=6,3*x1+4*x2<=12,2*x1-x2>=0],[x1,x2]);

(%o76) %union([x1=-6/5,x2=-12/5],[x1=12/11,x2=24/11],[x1=3,x2=3/4],[x1=x2/2,-12/5<x2,x2<24/11],[x1=-(4*x2-12)/3,3/4<x2,x2<24/11],[x1=(6+4*x2)/3,-12/5<x2,x2<3/4],[x2/2<x1,x1<min((4*x2)/3+2,4-(4*x2)/3),-12/5<x2,x2<24/11])

(%i77)

fourier_elim([3*x1-4*x2<=6,3*x1+4*x2<=12,2*x1-x2>=0],[x1,x2]);

(%o77) [x1=12/11,x2=24/11] or [x1=-6/5,x2=-12/5] or [x1=x2/2,-12/5<x2,x2<24/11] or [x1=3,x2=3/4] or [x1=-(4*x2-12)/3,3/4<x2,x2<24/11] or [x1=(6+4*x2)/3,-12/5<x2,x2<3/4] or [x2/2<x1,x1<min((4*x2)/3+2,4-(4*x2)/3),-12/5<x2,x2<24/11]

(%i78)

wxdraw2d(grid=true, x_voxel=80, y_voxel=80,fill_color = cyan,
region(3*x-4*y<=6 and 3*x+4*y<=12 and 2*x-y>=0, x,-2,4, y,-3,3));

4. zadatak

(%i79)

to_poly_solve([-12*x1+3*x2<=3,4*x1-10*x2<=5,x1>=0],[x1,x2]);

(%o79) %union([max(0,x2/4-1/4)<x1,x1<(5*x2)/2+5/4,-1/2<x2],[x1=0,-1/2<x2,x2<1],[x1=0,x2=-1/2],[x1=0,x2=1],[x1=(x2-1)/4,1<x2],[x1=(5+10*x2)/4,-1/2<x2])

(%i80)

fourier_elim([-12*x1+3*x2<=3,4*x1-10*x2<=5,x1>=0],[x1,x2]);

(%o80) [x1=0,x2=-1/2] or [x1=0,x2=1] or [x1=0,-1/2<x2,x2<1] or [x1=(5+10*x2)/4,-1/2<x2] or [x1=(x2-1)/4,1<x2] or [max(0,x2/4-1/4)<x1,x1<(5*x2)/2+5/4,-1/2<x2]

(%i81)

wxdraw2d(grid=true, x_voxel=80, y_voxel=80,fill_color = cyan,
region(-12*x+3*y<=3 and 4*x-10*y<=5 and x>=0, x,-1,5, y,-1,5));

5. zadatak

(%i82)

to_poly_solve([3*x+2*y>2,3*x+2*y<=6],[x,y]);

(%o82) %union([x=-(2*y-6)/3],[2/3-(2*y)/3<x,x<2-(2*y)/3])

(%i83)

fourier_elim([3*x+2*y>2,3*x+2*y<=6],[x,y]);

(%o83) [x=-(2*y-6)/3] or [2/3-(2*y)/3<x,x<2-(2*y)/3]

(%i84)

wxdraw2d(grid=true, fill_color = cyan, region(3*x+2*y>2 and 3*x+2*y<=6, x,-3,3, y,-5,5))$

3 Linearno programiranje

(%i85)

load(simplex)$

1. zadatak: Draguljar - prstenje i privjeski

(%i86)

maximize_lp(8*x+10*y,[4*x+2*y<=40, 0.2*x+0.4*y<=5.6]), nonegative_lp=true;

(%o86) [152.0,[y=11.99999999999999,x=4.000000000000001]]

(%i87)

wxdraw2d(grid=true,fill_color=cyan, region(4*x+2*y<=40 and 0.2*x+0.4*y<=5.6, x,0,11, y,0,15));

2. zadatak - generator i dvije vrste goriva

(%i88)

minimize_lp(3*x+2.5*y, [x+y>=4, 3*x+5*y<=15]), nonegative_lp=true;

(%i89)

wxdraw2d(grid=true,x_voxel=100, y_voxel=100, xtics=[0,0.5,6],
fill_color=cyan, region(x+y>=4 and 3*x+5*y<=15, x,0,6, y,0,2));

3. zadatak - prehrana životinja s dvije vrste stočne hrane

(%i90)

minimize_lp(2.5*x+3*y, [20*x+30*y>=18, 10*x+30*y>=12, 80*x+60*y>=48]), nonegative_lp=true;

maksimum ne postoji

(%i91)

maximize_lp(2.5*x+3*y, [20*x+30*y>=18, 10*x+30*y>=12, 80*x+60*y>=48]), nonegative_lp=true;

(%i92)

wxdraw2d(grid=true,fill_color=cyan, xtics=[0,0.2,2], ytics=[0,0.2,2],
region(20*x+30*y>=18 and 10*x+30*y>=12 and 80*x+60*y>=48, x, 0, 2, y, 0, 2));

Created with wxMaxima.